边的权重都不相同，如何证明在这个graph里面只存在一棵最小生成树

引理1：一个环的顶点集合任意划分成两个非空子集，则至少有两条边的顶点分别属于这两个子集。
证明：若不然，则情况1：两个子集之间无边相连，该环不连通，矛盾；情况2：两个子集之间只有一条边相连，设为UiUj，则这条边是Ui通向Uj的唯一路径，与其在环中矛盾。
引理2：一个每条边权重不同的连通图中的任意一个环中的最长边不会存在于该图的任何一棵最小生成树中。
证明：设每条边权重不同的连通图（U，V）中存在环C，这个环为的顶点集为{u1,u2,...,uk}，其中的最长边为ui-uj，假设这条边存在于某最小生成树Y中。在Y中去掉边ui-uj，则该最小生成树被分成两个不连通的子树，子树各自是连通的（该证明结论很直观，说明过程冗长，略过），子树1包含环C的顶点的子集C1，子树2包含C\C1，两个集合均非空（一个至少包含ui，另一个至少包含uj，否则在Y中去掉边ui-uj而不影响连通性，与Y是最小生成树矛盾）。由引理1知存在环C中的另一条边ul-um可以连接两个子树，且ul-um的权重小于ui-uj，这样得到的生成树Y1总权重小于Y，与Y是最小生成树矛盾。

最后是该命题的证明：
设存在两个不同的生成树Y1,Y2，Y1不等于Y2，则必然存在e∈Y1且e不属于Y2，否者Y1包含于Y2，Y2又是最小生成树，两个树相等，矛盾。将e加入Y2中，形成一个包含e的环C，由引理2，C中存在边f，使得f的权重小于e的权重，将f去掉不影响连通性，且得到的树的总权重小于Y2，与Y2是最小生成树矛盾。
证毕。