并查集(Union-Find)算法介绍

并查集

1.并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并问题。

并查集的主要操作有

1.合并两个不相交集合(Union(int x,int y))

2.判断两个元素是否属于同一个集合(Find(int x))

3.路径压缩

定义一个数组father,用father[i]表示元素i的父亲结点.

初始化每个集合只有其本身（编号从1-N）：

for (int i=1; i<=n; i++)
{
father[i]=i;
}

即对于节点i，它的组号也是i。

合并操作（Union(int x,int y)），father[i]=j,表示j是i的父亲（即i,j属于同一集合）











查找操作（Find（int x)）

查找两个元素是否属于同一集合（father[x]=x表示该元素没有合并过，自身为一个集合）

int Find(int x)   //查找x所属集合
{
while (x!=Father[x])
{
x=Father[x];
}
return Father[x];
}

根据上面就可以写成合并操作了

void Union(int x,int y)
{
x=Find(x);   //查找所属集合
y=Find(y);
if(x!=y)   //不在同一个集合
{
Father[x]=y;  //合并
}
}

又如：



上面所有元素最终形成三个集合。

合并操作的改进
最上面的Union的执行是相当任意的，它通过使得第二课棵树的子树而完成合并，对其进行简单的改进是借助任意的方法打破现有的关系，使得总让较小的树成为较大的树的子树，这种方法叫做按大小求并。
进行一次任意的并的结果（分别Union(5,6)，Union(7,8)，Union(5,7)
后Union(4,5)）：



按大小求并的结果：



即总是size小的树作为子树和size大的树进行合并。这样就能够尽量的保持整棵树的平衡。

在初始情况下，每个组的大小都是1，因为只含有一个节点，所以我们可以使用额外的一个数组来维护每个组的大小，对该数组的初始化也很直观：

for (int i = 0; i < N; i++)
{
sz[i] = 1;    // 初始情况下，每个组的大小都是1
}

而在进行合并的时候，会首先判断待合并的两棵树的大小，然后按照上面图中的思想进行合并，实现代码：

void Union(int x, int y)
{
int i = find(x);
int j = find(y);
if (i == j) return;
// 将小树作为大树的子树
if (sz[i] < sz[j])
{
Father[i] = j;
sz[j] += sz[i];
}
else
{
Father[j] = i;
sz[i] += sz[j];
}
}

形象化（上面的文字及此图来自这里）：



另一种实现方法为按高度求并，我们跟踪每棵树的高度而不是大小并执行那些Union使得浅点的树成为高点的树的子树，因为只有两棵相同深度的的树求并时树的高度才增加（此时树的高度增加1）。

void Union(int x,int y)
{
if(height[x]==height[y])
{
height[x]=height[x]+1;
Father[y]=x;
}
else if(height[x]<height[y])
{
Father[y]=x;
}
else
{
Father[x]=y;
}
}

路径压缩
通过 路径压缩使得结点离根更加的近，一个未采用路径压缩的例子：



路径压缩后：



这样采用路径压缩后使得Find更加的高效。
实现代码：

int Find(int x)
{
if(x!=Father[x])
{
Father[x]=Find(Father[x]);   //递归找根进行更新
}
return Father[x];
}

点这里并查集应用