超大背包问题(01背包)
2014-10-08 09:48
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超大背包问题:有n个重量和价值分别为w[i]和v[i]的物品,从这些物品中挑选总重量不超过W的物品,求所有挑选方案中价值总和的最大值。其中,1 ≤ n ≤ 40, 1 ≤ w[i], v[i] ≤ 10^15, 1 ≤ W ≤ 10^15.
这个问题给人的第一感觉就是普通的01背包。不过,看完数据范围会发现,这次价值和重量都可以是非常大的数值,相比之下n比较小。使用DP求解背包为题的复杂度是O(nW),因此不能用来解决这个问题。此时我们应该利用n比较小的特点来寻找其他方法。
挑选物品的方案总共有2^n种,所以不能直接枚举,但是如果将物品分成两半再枚举的话,由于每部分最多只有20个,这是可行的。我们把前半部分中的挑选方法对应的重量和价值总和记为w1、v1,这样在后半部分寻找总重w2 ≤ W - w1时使v2最大的选取方法即可。
因此,我们要思考从枚举得到的(w2,v2)集合中高效寻找max{v2|w2 ≤ W'}的方法。首先,显然我们可以排除所有w2[i] ≤ w2[j] 并且 v2[i] >= v2[j]的j。这一点可以按照w2、v2的字典序排序后做到。此后剩余的元素都满足w2[i] < w2[j] <=> v2[i] < v2[j],要计算max{v2|w2 <= W'}的话,只要寻找满足w2[i] <= W'的最大的i就可以了。这可以用二分搜索完成,剩余的元素个数为M的话,一次搜索需要O(logM)的时间。因为M≤2^(n/2),所以这个算法总的时间复杂度是O(n
* 2^(n/2)),可以在实现内解决问题。
这个问题给人的第一感觉就是普通的01背包。不过,看完数据范围会发现,这次价值和重量都可以是非常大的数值,相比之下n比较小。使用DP求解背包为题的复杂度是O(nW),因此不能用来解决这个问题。此时我们应该利用n比较小的特点来寻找其他方法。
挑选物品的方案总共有2^n种,所以不能直接枚举,但是如果将物品分成两半再枚举的话,由于每部分最多只有20个,这是可行的。我们把前半部分中的挑选方法对应的重量和价值总和记为w1、v1,这样在后半部分寻找总重w2 ≤ W - w1时使v2最大的选取方法即可。
因此,我们要思考从枚举得到的(w2,v2)集合中高效寻找max{v2|w2 ≤ W'}的方法。首先,显然我们可以排除所有w2[i] ≤ w2[j] 并且 v2[i] >= v2[j]的j。这一点可以按照w2、v2的字典序排序后做到。此后剩余的元素都满足w2[i] < w2[j] <=> v2[i] < v2[j],要计算max{v2|w2 <= W'}的话,只要寻找满足w2[i] <= W'的最大的i就可以了。这可以用二分搜索完成,剩余的元素个数为M的话,一次搜索需要O(logM)的时间。因为M≤2^(n/2),所以这个算法总的时间复杂度是O(n
* 2^(n/2)),可以在实现内解决问题。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 50; const long long INF = 0x3fffffff; typedef long long LL; int n; LL w , v ; LL W; pair <LL, LL> pi[1 << (N / 2)]; void solve() { int n2 = n / 2; for(int i = 0; i < (1 << n2); i++) { LL sw = 0, sv = 0; for(int j = 0; j < n2; j++) { if((i >> j) & 1) { sw += w[j]; sv += v[j]; } } pi[i] = make_pair(sw, sv); } sort(pi, pi + (1 << n2)); int m = 1; for(int i = 1; i < (1 << n2); i++) { if(pi[m-1].second < pi[i].second) { pi[m++] = pi[i]; } } LL res = 0; for(int i = 0; i < (1 << (n - n2)); i++) { LL sw = 0, sv = 0; for(int j = 0; j < n - n2; j++) { if((i >> j) & 1) { sw += w[n2 + j]; sv += v[n2 + j]; } } if(sw <= W) { LL tv = (lower_bound(pi, pi + m, make_pair(W - sw, INF)) - 1)->second; res = max(res, sv + tv); } } printf("%lld\n", res); } int main() { while(~scanf("%d%lld", &n, &W)) { for(int i = 0; i < n; i++) { scanf("%lld%lld", &w[i], &v[i]); } solve(); } return 0; }
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