二分图的最大匹配 （匈牙利算法）

二分图：顶点可以分类两个集合X和Y，所有的边关联的两个顶点恰好一个属于集合X，另一个属于集合Y.

二分图匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，

则称M是一个匹配。

最大匹配：图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配.

完美匹配：如果所有点都在匹配边上，则称这个最大匹配是完美匹配.

二分图匹配基本概念：

未盖点：设VI是G的一个顶点，如果VI不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称VI是一个未盖点.

交错轨：设P是图G的一条轨，如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M，就称P是交错轨.

可增广轨（增广路）:两个端点都是未盖点的交错轨称为可增广轨。

可增广轨的性质：

1：P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

2：P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。

3：M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

二分图最大匹配匈牙利算法思路：

思路是不停的找增广轨,并增加匹配的个数,增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数

变多的路径,在匹配问题中,增广轨的表现形式是一条"交错 轨",也就是说这条由

图的边组成的路径,它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,

第三条边没有...最后一条边没有参与匹配,并且始点和 终点还没有被选择过.

这样交错进行,显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径,我们可以将第一条边

改为已匹配,第二条边改为未匹配...以此类推.也就是将所有的边进行"取反",

容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对.另外,单独的

一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.

可以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.

参考代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int edge[150][150],m,n,k,used[150],link[150];
int dfs(int pos)       //匈牙利算法
{
    int i;
    for(i=1;i<=m;i++)
        if(edge[pos][i]&&!used[i]){
            used[i]=1;
            if(link[i]==-1||dfs(link[i])){
                link[i]=pos;
                return 1;
            }
        }
    return 0;
}
int main()
{
    int i,a,b,s;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        if(n==0)
            break;
        scanf("%d%d",&m,&k);
        memset(edge,0,sizeof(edge));
        while(k--){
            scanf("%d%d%d",&i,&a,&b);
            edge[a]=1;        //建图，可以用邻接表
        }
        s=0;
        memset(link,-1,sizeof(link));  //先初始化
        for(i=1;i<=n;i++){          
            memset(used,0,sizeof(used));
            s+=dfs(i);
        }
        printf("%d\n",s);
    }
    return 0;
}

[b]知识扩展：

二分图的最小顶点覆盖

最小顶点覆盖要求用最少的点（X或Y中都行），让每条边都至少和其中一个点关联。

knoig定理:二分图的最小顶点覆盖数 = 二分图的最大匹配数（m）

DAG图的最小路径覆盖

用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。

结论：DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数（n）- 最大匹配数（m）

二分图的最大独立集

结论：二分图的最大独立集数 = 节点数（n）- 最大匹配数（m）