算法之二叉树各种遍历

树形结构是一类重要的非线性数据结构，当中以树和二叉树最为经常使用。

二叉树是每一个结点最多有两个子树的有序树。通常子树的根被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用作二叉查找树和二叉堆或是二叉排序树。二叉树的每一个结点至多仅仅有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2的 i -1次方个结点；深度为k的二叉树至多有2^(k) -1个结点；对不论什么一棵二叉树T，假设其终端结点数(即叶子结点数)为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1。

二叉树的链式存储结构是一类重要的数据结构，其形式定义例如以下：

//二叉树结点
typedef struct BiTNode{
//数据
char data;
//左右孩子指针
struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;

二叉树的创建：
通过读入一个字符串，建立二叉树的算法例如以下：

//按先序序列创建二叉树
int CreateBiTree(BiTree &T){
char data;
//按先序次序输入二叉树中结点的值（一个字符），‘#’表示空树
scanf("%c",&data);
if(data == '#'){
T = NULL;
}
else{
T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
//生成根结点
T->data = data;
//构造左子树
CreateBiTree(T->lchild);
//构造右子树
CreateBiTree(T->rchild);
}
return 0;
}

二叉树的遍历：

遍历是对树的一种最主要的运算，所谓遍历二叉树，就是按一定的规则和顺序走遍二叉树的全部结点，使每个结点都被訪问一次，并且仅仅被訪问一次。因为二叉树是非线性结构，因此，树的遍历实质上是将二叉树的各个结点转换成为一个线性序列来表示。

递归算法：

//输出
void Visit(BiTree T){
if(T->data != '#'){
printf("%c ",T->data);
}
}
//先序遍历
void PreOrder(BiTree T){
if(T != NULL){
//訪问根节点
Visit(T);
//訪问左子结点
PreOrder(T->lchild);
//訪问右子结点
PreOrder(T->rchild);
}
}
//中序遍历
void InOrder(BiTree T){
if(T != NULL){
//訪问左子结点
InOrder(T->lchild);
//訪问根节点
Visit(T);
//訪问右子结点
InOrder(T->rchild);
}
}
//后序遍历
void PostOrder(BiTree T){
if(T != NULL){
//訪问左子结点
PostOrder(T->lchild);
//訪问右子结点
PostOrder(T->rchild);
//訪问根节点
Visit(T);
}
}

非递归算法：

<1>先序遍历：

【思路】：訪问T->data后，将T入栈，遍历左子树；遍历完左子树返回时，栈顶元素应为T，出栈，再先序遍历T的右子树。

/* 先序遍历(非递归)
思路：訪问T->data后，将T入栈，遍历左子树；遍历完左子树返回时，栈顶元素应为T，出栈，再先序遍历T的右子树。
*/
void PreOrder2(BiTree T){
stack<BiTree> stack;
//p是遍历指针
BiTree p = T;
//栈不空或者p不空时循环
while(p || !stack.empty()){
if(p != NULL){
//存入栈中
stack.push(p);
//訪问根节点
printf("%c ",p->data);
//遍历左子树
p = p->lchild;
}
else{
//退栈
p = stack.top();
stack.pop();
//訪问右子树
p = p->rchild;
}
}//while
}

<2>中序遍历
【思路】：T是要遍历树的根指针，中序遍历要求在遍历完左子树后，訪问根，再遍历右子树。

先将T入栈，遍历左子树；遍历完左子树返回时，栈顶元素应为T，出栈，訪问T->data，再中序遍历T的右子树。

void InOrder2(BiTree T){
stack<BiTree> stack;
//p是遍历指针
BiTree p = T;
//栈不空或者p不空时循环
while(p || !stack.empty()){
if(p != NULL){
//存入栈中
stack.push(p);
//遍历左子树
p = p->lchild;
}
else{
//退栈，訪问根节点
p = stack.top();
printf("%c ",p->data);
stack.pop();
//訪问右子树
p = p->rchild;
}
}//while
}

<3>后序遍历

【思路】：T是要遍历树的根指针，后序遍历要求在遍历完左右子树后，再訪问根。须要推断根结点的左右子树是否均遍历过。

//后序遍历(非递归)
typedef struct BiTNodePost{
BiTree biTree;
char tag;
}BiTNodePost,*BiTreePost;

void PostOrder2(BiTree T){
stack<BiTreePost> stack;
//p是遍历指针
BiTree p = T;
BiTreePost BT;
//栈不空或者p不空时循环
while(p != NULL || !stack.empty()){
//遍历左子树
while(p != NULL){
BT = (BiTreePost)malloc(sizeof(BiTNodePost));
BT->biTree = p;
//訪问过左子树
BT->tag = 'L';
stack.push(BT);
p = p->lchild;
}
//左右子树訪问完成訪问根节点
while(!stack.empty() && (stack.top())->tag == 'R'){
BT = stack.top();
//退栈
stack.pop();
BT->biTree;
printf("%c ",BT->biTree->data);
}
//遍历右子树
if(!stack.empty()){
BT = stack.top();
//訪问过右子树
BT->tag = 'R';
p = BT->biTree;
p = p->rchild;
}
}//while
}

<4>层次遍历

【思路】：按从顶向下，从左至右的顺序来逐层訪问每一个节点，层次遍历的过程中须要用队列。

//层次遍历
void LevelOrder(BiTree T){
BiTree p = T;
//队列
queue<BiTree> queue;
//根节点入队
queue.push(p);
//队列不空循环
while(!queue.empty()){
//对头元素出队
p = queue.front();
//訪问p指向的结点
printf("%c ",p->data);
//退出队列
queue.pop();
//左子树不空，将左子树入队
if(p->lchild != NULL){
queue.push(p->lchild);
}
//右子树不空，将右子树入队
if(p->rchild != NULL){
queue.push(p->rchild);
}
}
}

測试用例：



输入：

ABC##DE#G##F###

输出：



代码：

#include<iostream>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;

//二叉树结点
typedef struct BiTNode{
//数据
char data;
//左右孩子指针
struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;

//按先序序列创建二叉树
int CreateBiTree(BiTree &T){
char data;
//按先序次序输入二叉树中结点的值（一个字符），‘#’表示空树
scanf("%c",&data);
if(data == '#'){
T = NULL;
}
else{
T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
//生成根结点
T->data = data;
//构造左子树
CreateBiTree(T->lchild);
//构造右子树
CreateBiTree(T->rchild);
}
return 0;
}
//输出
void Visit(BiTree T){
if(T->data != '#'){
printf("%c ",T->data);
}
}
//先序遍历
void PreOrder(BiTree T){
if(T != NULL){
//訪问根节点
Visit(T);
//訪问左子结点
PreOrder(T->lchild);
//訪问右子结点
PreOrder(T->rchild);
}
}
//中序遍历
void InOrder(BiTree T){
if(T != NULL){
//訪问左子结点
InOrder(T->lchild);
//訪问根节点
Visit(T);
//訪问右子结点
InOrder(T->rchild);
}
}
//后序遍历
void PostOrder(BiTree T){
if(T != NULL){
//訪问左子结点
PostOrder(T->lchild);
//訪问右子结点
PostOrder(T->rchild);
//訪问根节点
Visit(T);
}
}
/* 先序遍历(非递归)
思路：訪问T->data后，将T入栈，遍历左子树；遍历完左子树返回时，栈顶元素应为T，出栈，再先序遍历T的右子树。
*/
void PreOrder2(BiTree T){
stack<BiTree> stack;
//p是遍历指针
BiTree p = T;
//栈不空或者p不空时循环
while(p || !stack.empty()){
if(p != NULL){
//存入栈中
stack.push(p);
//訪问根节点
printf("%c ",p->data);
//遍历左子树
p = p->lchild;
}
else{
//退栈
p = stack.top();
stack.pop();
//訪问右子树
p = p->rchild;
}
}//while
}
/* 中序遍历(非递归)
思路：T是要遍历树的根指针，中序遍历要求在遍历完左子树后，訪问根，再遍历右子树。
先将T入栈，遍历左子树；遍历完左子树返回时，栈顶元素应为T，出栈，訪问T->data，再中序遍历T的右子树。
*/
void InOrder2(BiTree T){
stack<BiTree> stack;
//p是遍历指针
BiTree p = T;
//栈不空或者p不空时循环
while(p || !stack.empty()){
if(p != NULL){
//存入栈中
stack.push(p);
//遍历左子树
p = p->lchild;
}
else{
//退栈，訪问根节点
p = stack.top();
printf("%c ",p->data);
stack.pop();
//訪问右子树
p = p->rchild;
}
}//while
}

//后序遍历(非递归)
typedef struct BiTNodePost{
BiTree biTree;
char tag;
}BiTNodePost,*BiTreePost;

void PostOrder2(BiTree T){
stack<BiTreePost> stack;
//p是遍历指针
BiTree p = T;
BiTreePost BT;
//栈不空或者p不空时循环
while(p != NULL || !stack.empty()){
//遍历左子树
while(p != NULL){
BT = (BiTreePost)malloc(sizeof(BiTNodePost));
BT->biTree = p;
//訪问过左子树
BT->tag = 'L';
stack.push(BT);
p = p->lchild;
}
//左右子树訪问完成訪问根节点
while(!stack.empty() && (stack.top())->tag == 'R'){
BT = stack.top();
//退栈
stack.pop();
BT->biTree;
printf("%c ",BT->biTree->data);
}
//遍历右子树
if(!stack.empty()){
BT = stack.top();
//訪问过右子树
BT->tag = 'R';
p = BT->biTree;
p = p->rchild;
}
}//while
}
//层次遍历
void LevelOrder(BiTree T){
BiTree p = T;
//队列
queue<BiTree> queue;
//根节点入队
queue.push(p);
//队列不空循环
while(!queue.empty()){
//对头元素出队
p = queue.front();
//訪问p指向的结点
printf("%c ",p->data);
//退出队列
queue.pop();
//左子树不空，将左子树入队
if(p->lchild != NULL){
queue.push(p->lchild);
}
//右子树不空，将右子树入队
if(p->rchild != NULL){
queue.push(p->rchild);
}
}
}
int main()
{
BiTree T;
CreateBiTree(T);
printf("先序遍历：\n");
PreOrder(T);
printf("\n");
printf("先序遍历(非递归)：\n");
PreOrder2(T);
printf("\n");
printf("中序遍历：\n");
InOrder(T);
printf("\n");
printf("中序遍历(非递归)：\n");
InOrder2(T);
printf("\n");
printf("后序遍历：\n");
PostOrder(T);
printf("\n");
printf("后序遍历(非递归)：\n");
PostOrder2(T);
printf("\n");
printf("层次遍历：\n");
LevelOrder(T);
printf("\n");
return 0;
}