01背包问题,是用来介绍动态规划算法最经典的例子
2014-09-19 20:35
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01背包问题,是用来介绍动态规划算法最经典的例子,网上关于01背包问题的讲解也很多,我写这篇文章力争做到用最简单的方式,最少的公式把01背包问题讲解透彻。
f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中,可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策:为了背包中物品总价值最大化,第 i件物品应该放入背包中吗 ?
题目描述:
有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品,它们的重量分别是2,2,6,5,4,它们的价值分别是6,3,5,4,6,现在给你个承重为10的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和?
只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。
首先要明确这张表是至底向上,从左到右生成的。
为了叙述方便,用e2单元格表示e行2列的单元格,这个单元格的意义是用来表示只有物品e时,有个承重为2的背包,那么这个背包的最大价值是0,因为e物品的重量是4,背包装不了。
对于d2单元格,表示只有物品e,d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值,仍然是0,因为物品e,d都不是这个背包能装的。
同理,c2=0,b2=3,a2=6。
对于承重为8的背包,a8=15,是怎么得出的呢?
根据01背包的状态转换方程,需要考察两个值,
一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9,另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi;
在这里,
f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包,当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包(等于当前背包承重减去物品a的重量),当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9,Pi指的是a物品的价值,即6
由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9,所以物品a应该放入承重为8的背包
好,至此我们解决了背包问题中最基本的0/1背包问题。等等,这时你可能要问,
我现在只知道背包能装入宝石的最大价值,但我还不知道要往背包里装入哪些宝石啊。嗯, 好问题!让我们先定义一个数组x,对于其中的元素为1时表示对应编号的宝石放入背包, 为0则不放入。让我们回到上面的例子,对于体积为5,4,3,价值为20,10,12的3个宝石 ,如何求得其对应的数组x呢?(明显我们目测一下就知道x={1
0 1}, 但程序可目测不出来)OK,让我们还是从状态说起。如果我们把2号宝石放入了背包, 那么是不是也就意味着,前3个宝石放入背包的最大价值要比前2个宝石放入背包的价值大, 即:d(3, 10)>d(2, 10)。再用字母代替具体的数字 (不知不觉中我们就用了不完全归纳法哈),当d(i,
j)>d(i-1, j)时,x(i-1)=1;j=j-w[i];OK,
完整的程序:
01背包问题,是用来介绍动态规划算法最经典的例子,网上关于01背包问题的讲解也很多,我写这篇文章力争做到用最简单的方式,最少的公式把01背包问题讲解透彻。
01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中,可以取得的最大价值。Pi表示第i件物品的价值。
决策:为了背包中物品总价值最大化,第 i件物品应该放入背包中吗 ?
题目描述:
有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品,它们的重量分别是2,2,6,5,4,它们的价值分别是6,3,5,4,6,现在给你个承重为10的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和?
name | weight | value | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
a | 2 | 6 | 0 | 6 | 6 | 9 | 9 | 12 | 12 | 15 | 15 | 15 |
b | 2 | 3 | 0 | 3 | 3 | 6 | 6 | 9 | 9 | 9 | 10 | 11 |
c | 6 | 5 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 10 | 11 |
d | 5 | 4 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 10 | 10 |
e | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
首先要明确这张表是至底向上,从左到右生成的。
为了叙述方便,用e2单元格表示e行2列的单元格,这个单元格的意义是用来表示只有物品e时,有个承重为2的背包,那么这个背包的最大价值是0,因为e物品的重量是4,背包装不了。
对于d2单元格,表示只有物品e,d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值,仍然是0,因为物品e,d都不是这个背包能装的。
同理,c2=0,b2=3,a2=6。
对于承重为8的背包,a8=15,是怎么得出的呢?
根据01背包的状态转换方程,需要考察两个值,
一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9,另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi;
在这里,
f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包,当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包(等于当前背包承重减去物品a的重量),当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9,Pi指的是a物品的价值,即6
由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9,所以物品a应该放入承重为8的背包
好,至此我们解决了背包问题中最基本的0/1背包问题。等等,这时你可能要问,
我现在只知道背包能装入宝石的最大价值,但我还不知道要往背包里装入哪些宝石啊。嗯, 好问题!让我们先定义一个数组x,对于其中的元素为1时表示对应编号的宝石放入背包, 为0则不放入。让我们回到上面的例子,对于体积为5,4,3,价值为20,10,12的3个宝石 ,如何求得其对应的数组x呢?(明显我们目测一下就知道x={1
0 1}, 但程序可目测不出来)OK,让我们还是从状态说起。如果我们把2号宝石放入了背包, 那么是不是也就意味着,前3个宝石放入背包的最大价值要比前2个宝石放入背包的价值大, 即:d(3, 10)>d(2, 10)。再用字母代替具体的数字 (不知不觉中我们就用了不完全归纳法哈),当d(i,
j)>d(i-1, j)时,x(i-1)=1;j=j-w[i];OK,
int j=C-1; for(int i=N-1;i>0;i--) { if(d[i][j]>d[i-1][j]) { x[i]=1; j=j-w[i]; } } if(d[0][j]>0) x[0]=1;
完整的程序:
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=5;
const int C=10;
int v[]={6,4,5,3,6},w[]={4,5,6,2,2};//下标从0开始
int x
;
int d
[C]={0};
void find()
{
for(int j=0;j<C;j++)
{
for(int i=0;i<N;i++)
{
if(i==0)
{
if(w[0]>j)
d[0][j]=0;
else
d[0][j]=v[0];
}
else if(j-w[i]<0)//剩余空间放不下当前的物品
d[i][j]=d[i-1][j];
else
d[i][j]=max(d[i-1][j],d[i-1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
}
void main()
{
find();
int j=C-1; for(int i=N-1;i>0;i--) { if(d[i][j]>d[i-1][j]) { x[i]=1; j=j-w[i]; } } if(d[0][j]>0) x[0]=1;
for(int i=0;i<N;i++)
{
if(x[i]==1)
cout<<i<<' ';
}
cout<<endl;
cout<<d[N-1][C-1]<<endl;
}
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