进制转换

（一）进位计数制的基本概念
　　将数字符号按序排列成数位，并遵照某种由低位到高位进位的方法进行计数，来表示数值的方式，称作进位计数制。比如，我们常用的是十进位计数制，简称十进制；就是按照“逢十进一”的原则进行计数的。
　　进位计数制的表示主要包含三个基本要素：数位、基数和位权。数位是指数码在一个数中所处的位置；基数是指在某种进位计数制中，每个数位上所能使用的数码的个数，例如十进位计数制中，每个数位上可以使用的数码为0、1、2、3…9十个数码，即其基数为10；位权是指一个固定值，是指在某种进位计数制中，每个数位上的数码所代表的数值的大小，等于在这个数位上的数码乘上一个固定的数值，这个固定的数值就是这种进位计数制中该数位上的位权。数码所处的位置不同，代表数的大小也不同。例如在十进位计数制中，小数点左边第一位位权为 10^0，左边第二位位权为 10^1；左边第三位位权为10^2；…。 小数点右边第一位位权为10^-1；小数点右边第二位位权为10^-2；…以次类推。
１．十进制
　　十进位计数制简称十进制；有十个不同的数码符号：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。每个数码符号根据它在这个数中所处的位置（数位），按“逢十进一”来决定其实际数值，即各数位的位权是以10为底的幂次方。
　　例如：(215.48)10 = 2×10^2＋1×10^1＋5×10^0＋4×10^-1＋8×10^-2
２．二进制
　　二进位计数制简称二进制；有二个不同的数码符号：0、1。每个数码符号根据它在这个数中所处的位置（数位），按“逢二进一”来决定其实际数值，即各数位的位权是以2为底的幂次方。
　　例如：(11001. 01)2 = 1×2^4＋1×2^3＋0×2^2＋0×2^1＋1×2^0＋0×2^-1＋1×2^-2 = (25.25)10
３．八进制
　　八进位计数制简称八进制；有八个不同的数码符号：0、1、2、3、4、5、6、7。每个数码符号根据它在这个数中所处的位置（数位），按“逢八进一”来决定其实际数值，即各数位的位权是以8为底的幂次方。
　　例如：(162.4)8 = 1×8^2＋6×8^1＋2×8^0＋4×8^-1 = (114.5)10
４．十六进制
　　十六进位计数制简称十六进制；有十六个不同的数码符号：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。每个数码符号根据它在这个数中所处的位置（数位），按“逢十六进一”来决定其实际数值，即各数位的位权是以16为底的幂次方。
　　例如：(2BC.48)16 = 2×16^2＋B×16^1＋C×16^0＋4×16^-1＋8×16^-2 = (700.28125)10
　　总结以上四种进位计数制，可以将它们的特点概括为每一种计数制都有一个固定的基数，每一个数位可取基数中的不同数值；每一种计数制都有自己的位权，并且遵循“逢基数进一”的原则。　
（二）进位计数制之间的转换
1、二进制转换到十进制简易方法：（10110101）2此数从低位到高位分别在对应数字下写上：2021222324252627对（1 2 4 8 16 32 64 128）对应相乘后相加（红色数字相加）得：（181）10
2.不同进位计数制之间的转换，实质是基数转换。一般转换的原则是：如果两个有理数相等，则两个数的整数部分和小数部分一定分别相等。因此，数制之间进行转换时，通常对整数部分和小数部分分别进行转换。
　１．非十进制数（N 进制数）转换为十进制数　　方法：将各个N进制数按权展开求和即可。
　　例如：
　　(10110.11)2 = 1×2^4＋0×2^3＋1×2^2＋1×2^1＋0×2^0＋1×2^-1＋1×2^-2=(22.75)10
　　(125.24)8 = 1×8^2＋2×8^1＋5×8^0＋2×8^-1＋4×8^-2=(85.3125)10
　　(3A8.48)16 = 3×16^2＋A×16^1＋8×16^0＋4×16^-1＋8×16^-2=(936.28125)10
　２．十进制数转换为非十进制数（N进制数）　　方法：整数部分采取“除基数取余法”，小数部分采取“乘基数取整法”。
　　1)十进制转换为二进制数　　方法：整数部分采取“除2取余法”，小数部分采取“乘2取整法”。
　　例如：将十进制(123.75) 10转换为二进制数
整数部分123转换如下：
余数.小数点
2 123 1 整数低位
2 61 1
2 30 0
2 15 1
2 7 1
2 3 1
2 1 1
0 1 整数高位
小数部分0.75转换如下：
小数点.整数 0.75
| * 2
小数首位 | 1 1.50
| 0.50
| * 2
小数末位 | 1 1.00
00——为零，转换结束
即 (123.75)10 = (1111011.11)2
2)十进制转换为八进制数
方法：整数部分采取“除8取余法”，小数部分采取“乘8取整法”。
例如：将十进制(123.75) 10转换为八进制数
余数.小数点
8 | 123 | 整数低位
8 | 15 3 |
8 | 1 7 |
0 1 | 整数高位
小数点.整数 0.75
| * 8
| 6 6.00
| 00——为零，转换结束
即(123.75)10 = (173.6)8
3) 十进制转换为十六进制数 方法：整数部分采取“除16取余法”，小数部分采取“乘16取整法”。
例如：将十进制(123.75) 10转换为16进制数
余数.小数点
16 | 123 | 整数低位
16 | 7 B |
0 7 | 整数高位
小数点.整数 0.75
| * 16
| C 12.0
| 0——为零，转换结束
即(123.75)10 = (7B.C)16
３．非十进制数之间的相互转换
1) 八进制数与二进制数之间的转换
　　由于一位八进制数相当于三位二进制数，因此，要将八进制数转换成二进制数时，只需以小数点为界，向左或向右每一位八进制数用相应的三位二进制数取代即可。如果不足三位，可用零补足之。反之，二进制数转换成相应的八进制数，只是上述方法的逆过程，即以小数点为界，向左或向右每三位二进制数用相应的一位八进制数取代即可。
　　例如：将八进制数(357.162)8转换成二进制数。
3 5 7 · 1 6 2
011 101 111 001 110 010
　即(357.162)8 = (11101111.0011101)2
　例如：将二进制数(101011110.10110001)2转换成八进制数。
101 011 110 · 101 100 010 5 3 6 5 4 2即(101011110.10110001)2 = (536.542)82)十六进制数与二进制数之间的转换
　　由于一位十六进制数相当于四位二进制数，因此，要将十六进制数转换成二进制数时，只需以小数点为界，向左或向右每一位十六进制数用相应的四位二进制数取代即可。如果不足四位，可用零补足之。反之，二进制数转换成相应的十六进制数，只是上述方法的逆过程，即以小数点为界，向左或向右每四位二进制数用相应的一位十六进制数取代即可。
　　例如：将十六进制数(5AB.8CE)16转换成二进制数。
5 A B · 8 C E 0101 1010 1011 1000 1100 1110即(5AB.8CE)16 = (10110101011.10001100111)2例如：将二进制数(1100101001011.001100101)2转换成十六进制数。 0001 1001 0100 1011 · 0011 0010 1000 1 9 4 B 3 2 8即(1100101001011.001100101)2 = (194B.328)16