ZOJ 2676 Network Wars 最小割 分数规划

题意：给出一个无向的流网络，其中共有N个点，每个边都有一个权值。顶点1和顶点N之间相互发送信息。现在需要选出几条边，使顶点1和顶点N发出的信息至少经过其中的一条边。我们要最小化这几条边的平均权值。输出选出边的编号。

思路： 这道题的思路在amber的《最小割模型在信息学竞赛中的应用》论文中已经写到。

我就说一下注意点：1.流网络是无向的，所以加边的时候我们要加双向的边。

2.流网络中的容量不能为负，所以对于重赋权的边，如果容量为负，那么一定在最小割中，直接加入最终的结果，而不是加到流网络中。

3.题目中虽然说输出任意方案即可，但仍然需要对边的编号从小到大进行排序。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>

using namespace std;

const double EPS = 1e-7;
const double INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAX = 500;
int N,M;

int dcmp(double x)
{
if(fabs(x) < EPS) return 0;
else if(x > 0) return 1;
else return -1;
}

struct edge{
int from,to;
double cap,flow;
int num;
edge(int u =0,int v =0,double c=0.0,double f=0.0,int n = 0):from(u),to(v),cap(c),flow(f), num(n){}
};
edge a[MAX];

struct ISAP{
static const int MAX = 1000;//2倍的边的大小
int head[MAX];//每个节点对应链表的开始位置
int next[MAX];//链表的下一个节点在edges数组的位置
int tot;//edges数组的大小
edge edges[2 * MAX];//储存边的数组
int que[MAX],front,tail;//队列，保存节点
int d[MAX];//距离标号
bool vis[MAX];//访问标记
int num[MAX];//gap优化
int pre[MAX];//增广路中，节点X的前面一个弧的标号
int cur[MAX];//对于每个节点的，处理的当前弧。
int s,t,n;//s源点标号，t汇点标号，n节点总数
int mcut[2 * MAX],sz;//割的计数
void init(int n){
this->n = n;
memset(head,-1,sizeof(head));
tot = sz = 0;//
}
void addedge(int from,int to, double cap,int num){
edges[tot] = edge(from,to,cap,0.0,num);
next[tot] = head[from], head[from] = tot++;
edges[tot] = edge(to,from,cap,0.0,num);
next[tot] = head[to],head[to] = tot++;
}
void bfs(){
memset(vis,0,sizeof(vis));
front = tail = 0;
d[t] = 0;
vis[t] = true;
que[tail++] = t;
while(front < tail){
int u = que[front++];
for(int v = head[u]; v != -1; v = next[v]){
edge & e = edges[v^1];
if(dcmp(e.cap-e.flow) > 0 && !vis[e.from]){//对处于残余网络中的弧且没访问过的节点处理
d[e.from] = d[u] + 1;
vis[e.from] = true;
que[tail++] = e.from;
}
}
}
}
double augment(){
int x = t;
double a = INF;
while(x != s){
edge& e = edges[pre[x]];
a = min(a,e.cap - e.flow);
x = e.from;
}

for(int x = t;x != s;x = edges[pre[x]].from){
edges[pre[x]].flow += a;
edges[pre[x]^1].flow -= a;
}
return a;
}
double maxflow(int s, int t){
this->s = s, this->t = t;
memset(num,0,sizeof(num));
double flow = 0.0;
bfs();
for(int i = 1; i <= n; ++i){//注意此处的下标问题
num[d[i]]++;
cur[i] = head[i];
}
int x = s;
while(d[s] < n){
if(x == t){
flow += augment();
x = s;
}
bool ok = false;
for(int v = cur[x]; v != -1; v = next[v]){
edge& e = edges[v];
if(dcmp(e.cap - e.flow) > 0 && d[x] == d[e.to] + 1){
ok = true;
cur[x] = v;
pre[x = e.to] = v;
break;
}
}
if(!ok){
int m = n - 1;
for(int v = head[x]; v != -1; v = next[v]){
edge & e = edges[v];
if(dcmp(e.cap - e.flow) > 0) m = min(m,d[e.to]);
}
if(--num[d[x]] == 0) break;
num[d[x]=m+1]++;
cur[x] = head[x];
if(x != s) x = edges[pre[x]].from;
}
}
return flow;
}
bool judge(double m){
init(N);
double flow = 0.0;
for(int i = 1 ; i <= M; ++i){
edge & e = a[i];
if(e.cap + EPS < m) mcut[sz++] = e.num,flow += e.cap - m;
else addedge(e.from, e.to,e.cap - m,e.num);
}
return dcmp(flow + maxflow(1,N)) > 0;
}
void mincut(){
bfs();
for(int i = 0 ; i < tot; ++i){
edge & e = edges[i];
if(!vis[e.from] && vis[e.to] && e.cap > 0)
mcut[sz++] = e.num;
}
sort(mcut,mcut + sz);
}
void print(){
printf("Graph:\n");
for(int i = 0 ; i < tot; ++i){
edge & e = edges[i];
printf("->%d c:%f p:%f\n",e.to,e.cap,e.flow);
}
}
} solver;

int main(void)
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out1.txt","w",stdout);
int cas = 0;
while(scanf("%d%d", &N,&M) != EOF){
for(int i = 1; i <= M; ++i){
scanf("%d%d%lf", &a[i].from,&a[i].to,&a[i].cap);
a[i].num = i;
}
double lb = 0.0, ub = INF;
while(fabs(lb - ub) > EPS){
double mid = (lb + ub) / 2.0;
if(solver.judge(mid)) lb = mid;
else ub = mid;
}
solver.mincut();
if(cas++) puts("");
//printf("%f\n",lb);
printf("%d\n",solver.sz);
for(int i = 0; i < solver.sz; ++i)
printf("%d%c",solver.mcut[i], i == solver.sz -1?'\n':' ');
}
return 0;
}