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算法——最大流：Ford-Fulkerson方法

2014-09-07 18:59 585 查看

最大流是要求解流网络图中从源节点到汇点的最大有效值，首先介绍一些基本概念。

流网络

流网络的概念：是指一个有向图
$G=(E,V)$
，图中每条边
$(u,v)\epsilon E$
有一个非负的容量值
$c(u,v)\geq 0$
，而且，如果边集合
$E$
存在边
$(u,v)\epsilon E$
，则图中不存在反向边
$(v,u)$
。在流网络图中存在两个特殊节点：源节点
$s$
和汇点
$t$
；

流的基本性质：

容量限制：对于所有的节点
$u,v\epsilon V$
，要求
$0\leq f(u,v)\leq c(u,v)$
；

流量守恒：对于所有节点
$u\epsilon V-\left \{ s,t \right \}$
，要求
$\sum_{v\epsilon V}f(v,u)=\sum_{v\epsilon V}f(u,v)$
；

Ford-Fulkerson方法

Ford-Fulkerson方法是循环增加流的值，在增加流的值过程中，需要利用残存网络、增广路径和切割。

Ford-Fulkerson方法是一种迭代的计算过程，实现步骤如下：

初始化图中流的值；
在残存网络中找到增广路径；
沿着增广路径增加流的值，直到残存网络不存在增广路径为止；

Ford-Fulkerson(G,s,t)
        initialize flow f to 0
        while there exists an augmenting path  p in the residual network G(f)
                  augment flow f along p
        return f

残存网络

给定流网络图
$G$
和流量
$f$
，流网络图
$G$
中的一条边可以允许额外流量等于该边容量减去该边上的流量，若差值
$c_{f}(u,v)=c(u,v)-f(u,v)$
为正，则将该边置于残存网络
$G_{f}$
中。残存网络
$G_{f}$
可能包含原流网络图
$G$
中不存在的边。

即
$G_{f}=(V,E_{f})$
，其中
$E_{f}=\left \{ (u,v)\epsilon V\times V:c_{f}(u,v)\geq 0 \right \}$

残存容量的定义：

$c_{f}(u,v)=\left\{\begin{matrix} c(u,v)-f(u,v)& \, \, \,if\, \, \, (u,v)\epsilon E \\ f(v,u)& \, \, \, if\, \, \, (v,u)\epsilon E\\ 0& others \end{matrix}\right.$

残存网络结构图示例：

图a左边为原始流网络图
$G=(E,V)$
，右边为残存网络图
$G_{f}=(V,E_{f})$
，带有箭头的虚线部分表示残存网络的增广路径；

增广路径

是指在残存网络图
$G_{f}=(V,E_{f})$
中一条从源节点
$s$
和汇点
$t$
之间的简单路径，该简单路径的边属于
$E$
和不属于
$E$
交替出现；增广路径的残存容量表示为：
$c_{f}(p)=min\left \{ c_{f}(u,v):(u,v)\epsilon p \right \}$
；

最大流定理

设
$f$
为流网络
$G=(E,V)$
中的一个流，该流网络的源节点
$s$
和汇点
$t$
，则下面条件等价：

$f$
为流网络
$G=(E,V)$
中的一个最大流；
残存网络不存在增广路径；

例如下图不存在增广路径，则其最大流为
$f=12+11=23$

基于Ford-Fulkerson方法的算法

在Ford-Fulkerson方法的每次迭代中，寻找某条增广路径
$p$
，然后使用
$p$
来对流
$f$
进行修改。

Ford-Fulkerson(G,s,t)
	for each edge(u,v) ∈G.E
		(u,v).f = 0
	While there exists a path p from s to t in the residual network Gf	
		cf(p) = min{ cf(u,v):(u,v) is in p}
		for each edge(u,v) in p 
			if (u,v) ∈E
				(u,v).f = (u,v).f+ cf(p)
			else (v,u).f = (v,u).f- cf(p)

算法中很明显，主要是如何寻找增广路径。不同的寻找方法会导致不同的时间复杂度。第2-3行对每条边进行初始化；第4行开始是在while循环里面找到残存网络的增广路径，直到不存在增广路径为止；

Edmonds-Karp算法

在寻找增广路径时，若使用BFS，也就是说我们在残存网络中选择的增广路径是一条从源节点
$s$
到汇点
$t$
的最短路径，其中每条边的权重为单位距离。

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