二叉树的简介以及ADT实现

1.树是n个结点的优先集合T，满足一下的性质:
1）有一个被称之为root的结点
2）有其余的结点可以分为m个互不相交的集合T1，T2，T3，，，这些集合本身也是一棵树，每颗子树也有自己的根结点。

2.一些名词介绍
度：树中每个结点具有的子树的数目称为该结点的度
度为0的结点称为叶子或者终端节点。不为0的称之为非终端结点或者分支结点。
结点的子树的根称为该结点的孩子，在（完全）二叉树中，左边的称为左孩子，右边的称为右孩子。相应的，该结点称为孩子的双亲。同一个双亲的孩子互相称为兄弟。
深度：树中结点的最大层次称为书的深度或者高度。
有序树：将树中结点的各子树看成是从左到右的有次序的。
森林：是m棵互不相交的树的集合

3.二叉树的一些性质
性质1：一棵非空二叉树的第i层上最多有2i-1个结点。
证明：利用数学归纳法进行证明。
第一步：当i为1时，成立有1个结点
满足此式
第二步：假设当i=k时，假设此式成立则在第k层上有2k-1个结点
第三步：当i=k+1时，k+1层上结点最多为k层的2倍
则2*2k-1
= 2k
此时满足关系式。

性质2：一棵高度为i的二叉树，最多由2k-1个结点
证明：当结点最多的时候，此时一定为满二叉树，此时结点的计算为：num=20+21+22+23+……+2i-1此时根据等比数列的计算公式可得num=2k-1.

性质3：对于一棵非空二叉树，如果叶子结点数为n0，度数为2的结点数为n2，则有n0
= n2+1成立（最大度数为2）
证明：假设度数为1的结点的数目为n1,
则此时二叉树中所有num = n1 + n1+ n2;
设置分支总数为num1，
num = num1+1,(分支简单说就是连的线的条数)，而num1=n1+2*n2，所以
n1+n2+n3 = n1+2*n2+1-------》n0=n2+1成立

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2N
]+1
证明：假设n个结点的深度为k
则
2k-1 -1 <n <= 2k-1
(前面是k-1层的最多的结点个数后面是k层的最多的结点个数)

性质5：（这个只是简单的介绍下）
如果对一颗有n个结点的完全二叉树的结点按层次序自上而下，每一层自左向右编号，若设置根结点的编号为1，则对任意编号为i的结点有：
1）如果i=1
则为根结点；如果i>1，则其父节点的个数为[i/2] []表示取整
2）如果2*i>n,则编号为i的结点为叶子节点，没有左儿子，否则它的做儿子应该为2*i
3）如果2*i+1>n,则编号为i的结点没有右儿子，否则它的编号为2*i+1;
4.二叉树的ADT实现
#include"stdafx.h"
#include<iostream>
usingnamespacestd;
template<classT>
classbitNode
{
protected:
//这里是防止以后程序出现指针和引用
typedefT*
pT;
typedefT&
rT;
typedefconstT*
const_pT;
typedefconstT&
const_rT;
typedefbitNode<T>*
pNode;
typedefconstbitNode<T>*
const_pNode;
typedefbitNode<T>&
rNode;
typedefconstbitNode<T>&
const_rNode;
public:
Tdata;
pNodelChild,rChild;
public:
bitNode():lChild(NULL),rChild(NULL){};
bitNode(Tval,pNodelchild=NULL,pNoderchild =NULL):data(val),lChild(lchild),rChild(rchild){};

~bitNode(){};

//设置一些set方法
voidsetData(const_rTval) {
data =
val;};
voidsetLeftChild(const_pNodelchild){
lChild =
lchild;};
voidsetRightChild(const_pNoderchild) {
rChild =
rchild;};

//设置一些get方法
TgetData()const {returndata;};
pNodegetLeftChild()
const {returnlChild;};
pNodegetRightChild()
const{returnrChild;};

const_pNodemax(const_pNodeval1,const_pNodeval2)

{
if(val1 >
val2)
returnval1;
else
returnval2;

}
intgetHeight(const_pNodepRoot) //获取深度 方法是在左子树和右子树中寻找最深的层次

{
if(pRoot==NULL) return
0;
else
return 1+max(pRoot->lChild,pRoot->rChild);

}
intgetSize(const_pNodepRoot)
const//获取节点数主要是通过递归

{
if(pRoot ==
NULL) return 0;
else
return 1+getSize(pRoot->lChild)+getSize(pRoot->rChild);

}
/*

在此三种遍历方式略去下次在使用呵呵

*/
};
template<classT>
classbitTree
{
public:
typedefbitNode<T>
Node;
typedefbitNode<T>*
pNode;
typedefconstbitNode<T>&
const_rNode;
typedefconstT*
const_pT;
typedefconstT&
const_rT;
typedefconstbitTree<T>*
const_pTree;
typedefconstbitTree<T>&
const_rTree;
private:
pNoderoot;
voiddelAllNode(pNodepRoot) //使用递归删除

{
if(pRoot!=NULL)

{
delAllNode(pRoot->lChild);
delAllNode(pRoot->rChild);
deletepRoot;

}

}
public:
bitTree():root(NULL){}
bitTree(const_rTval)

{
root =
newNode(val);

}

~bitTree(){delAllNode(root);}
//释放所有的结点
boolisEmpty()
const{return (root==NULL)};
pNodegetRoot()
const{returnroot; }; //
};
//简单设置下根结点和输出 大家可以随意扩展 数据结构书籍上还有删除一个特定的结点（注意：带子树删除）
//在一个位置插入节点等等
int_tmain(intargc,
_TCHAR*
argv[])
{

bitTree<int>
pTree(1);
cout<<pTree.getRoot()->getData()<<endl;

getchar();
return 0;
}