【算法学习笔记】14.暴力求解法03 回溯法01 N皇后和素数环

回溯法的含义 百度百科

回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。
若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。 而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束

（1）针对所给问题，定义问题的解空间；//解答树？
（2）确定易于搜索的解空间结构；
（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。


例子1

N皇后问题

方法1就是动态判断

void search(int cur)
{
	if(cur==n+1)//说明已经处理完成了(cur==n-1时正在处理最后一排) 
	{
		tot++;
		if(tot<=3)	
		{
			for(int i=1;i<=n;i++)
			{
				printf("%d ",map[i]);
			}
			putchar('\n');
		}
	}	
	else
	{
		//尝试填入i于第cur行 
		for(int i=1;i<=n;i++) 
		{ 
			int ok=1;
			//开始检查是否在之前的皇后的攻击范围之内 
			for(int j=1;j<cur;j++)
			{
				//此处动态判断 
				if(i==map[j]||i-cur==map[j]-j||i+cur==map[j]+j)	
				{	ok=0;	break;	}
			}
			if(ok)
			{
				map[cur]=i;
				search(cur+1);
			}	
			
		}
	}		
}

但是此处因为每次动态判断的列，对角线有重复，所以会效率低下

下面采取了一种用二维数组进行记忆化判断的方法，此种方法可以提高效率。

int vis[3][50];//此处的20是用n-1+1+n-1 估算出来的 
//vis[0][i]记录的是i列是否属于攻击范围 
//vis[1][i]记录的是i号正对角线是否属于攻击范围
//vis[2][i]记录的是i号副对角线是否属于攻击范围
void search2(int cur)
{
	if(cur==n+1)//说明已经处理完成了(cur==n-1时正在处理最后一排) 
	{
		tot++;
		if(tot<=3)	
		{
			for(int i=1;i<=n;i++)
			{
				printf("%d ",map[i]);
			}
			putchar('\n');
		}
	}	
	else
	{
		//开始尝试加入i
		for(int i=1;i<=n;i++) 
		{
			int ok=1; 
			//开始检查 
			if(vis[0][i]||vis[1][cur+i]||vis[2][cur-i+n])
				ok=0;
			//为了清晰 写的比较啰嗦点 
			if(ok)
			{ 
				//因为vis数组是全局变量，此处若想在递归中来当作局部变量一样入栈出栈，必须要手动恢复 
				vis[0][i]=vis[1][cur+i]=vis[2][cur-i+n]	=1;
				map[cur]=i;
				search2(cur+1);
				vis[0][i]=vis[1][cur+i]=vis[2][cur-i+n]	=0;
			}
			
		}
	}
}

这样效率就提高了不少

用wikioi的一张图进行对比





恰好是一半的时间左右，，这个好像是可以根据分析算出的。。。暂时先留个疑问。

例子2 素数环问题

也是有两个方法来进行比较。

第一个就是纯粹的动态判断+暴力枚举

因为这里需要不断得进行枚举排列。

那么就有stl进行下一个排列枚举的方法 还有动态生成的方法。

这里是要进行先枚举排列后进行判断，所以用do while循环来调用next_permutation

//生成第一个排列
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		A[i-1]=i;
	//用这个排列来使用np .但是要保证一直以1开头 
	do
	{
	//开始判断
		int ok=1;
		for(int i=0;i<n;i++)		
		{ 
			int a=A[i];
			int b=	i==n-1	?	A[0]:A[i+1];
		 	if(!isp[a+b])
 			{ok=0;break;}
		}
		if(ok)
		{
			for(int i=0;i<n;i++) 
				printf("%d ",A[i]);
			putchar('\n');
		}
	}while(next_permutation(A+1,A+n));

这种方法因为是无脑枚举...所以很慢

而用回溯法就可以解决这个问题，使得解答树的遍历过程显得很聪明。

void dfs(int cur)
{
	//当cur==n时说明A[n-1] 已经有元素了 
	if(cur==n&&isp[A[0]+A[n-1]])
	{
		for(int i=0;i<n;i++) 
				printf("%d ",A[i]);
		putchar('\n');
	}
	else
	{
		for(int i=2;i<=n;i++)
		{
			if(vis[i]==0&&isp[A[cur-1]+i])
			{
				A[cur]=i;
				//全局变量的改变要记得恢复
				//此处使用vis数组来记忆i的使用状态 和用for来寻找可用最小元素相比效率要高一点。 
			 	vis[i]=1;
			 	dfs(cur+1);
			 	vis[i]=0;	
			}
		}
	}
}

A[0]=1;

dfs(1);

这样的话，即使n=18依然可以跑得比较快。