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Cubic spline（三次样条插值）

2014-08-26 17:14 267 查看

自己以前上过数值分析这门课，用的是[1]这本教材，三次样条插值这一节，当时似乎看明白了，但在实际碰到它时，总觉得很神秘，也很心虚。过了好几年之后，想彻底理解这个cubic spline，就翻开以前的书看，看了老半天才看明白，上面写着很多乱七八糟的公式（当然也是有意义的），应该会像以前很快忘掉它们。之前看过Andrew NG写过的机器学习讲义，上面把各个公式娓娓道来，感觉很自然，也就理解的更深。于是乎，自己就在网上找老外是怎么讲这个的，[3]wiki百科也讲的迷迷糊糊的，后来搜到[2]，直接醍醐灌顶。

已知函数
$y=f(x)$
在区间
$[a, b]$
上的
$n+1$
个节点

$a = x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} = b$

上的值
$y_{i} = f(x_{i})(i = 0, 1, \cdots, n)$
，求插值函数
$S(x)$
，使得:

$S(x_{i}) = y_{i}\quad (i = 0, 1, \cdots, n)$
；

在每个小区间
$[x_{j-1}, x_{j}](j = 1, 2, \cdots, n)$
上
$S(x)$
是三次多项式，记为
$C_{j}(x)$
；

$S(x)$
在
$[a, b]$
上二阶连续可微，

则函数
$S(x)$
称为
$f(x)$
的三次样条插值函数，

$S(x) = \left\{\begin{array}{ll}C_{1}(x), & x_{0}\leq x \leq x_{1}\\ C_{i}(x), &x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\\ C_{n}(x), & x_{n-1} \leq x \leq x_{n}\end{array}\right.$

其中
$C_{i}$
是三次方函数，具有如下形式：

$C_{i}(x) = \alpha_{i}+b_{i}x+c_{i}x^{2}+d_{i}x^{3}$

因此只要确定了这些系数
$\alpha_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i}$
，就计算出了
$S(x)$
，一共有
$4n$
个系数需要确定。
首先根据
$S(x_{i}) = y_{i}\quad (i = 0, 1, \cdots, n)$
，可得：

$C_{i}(x_{i-1}) = y_{i-1}$
and
$C_{i}(x_{i}) = y_{i}$

则可得到
$2n$
个方程：

$\alpha_{i}+b_{i}x_{i-1}+c_{i}x_{i-1}^{2}+d_{i}x_{i-1}^3=y_{i-1}$
and
$\alpha_{i}+b_{i}x_{i}+c_{i}x_{i}^{2}+d_{i}x_{i}^{3}=y_{i}$

另外根据
$S(x)$
在
$[a, b]$
上二阶连续可微，我们需要在点
$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n-1}$
上：

$C_{i}^{'}(x_{i})=C_{i+1}^{'}(x_{i})$

$C_{i}^{''}(x_{i})=C_{i+1}^{''}(x_{i})$

这两个方程可以写成：

$b_{i}+2c_{i}x_{i}+3d_{i}x_{i}^{2}=b_{i+1}+2c_{i+1}x_{i}+3d_{i+1}x_{i}^{2}$

$2c_{i}+6d_{i}x_{i}=2c_{i+1}+6d_{i+1}x_{i}$

这里有
$2(n-1)$
个方程，加上之前的
$2n$
个，目前总共有
$4n-2$
个方程，而未知量有
$4n$
个，这时就需要边界条件来提供两个方程，常用的边界条件有以下三种：

给定两端点处的导数值,
$S^{'}(a)=y_{0}^{'}$

$S^{'}(b)=y_{n}^{'}$
。特别地，当
$y^{'}_{0}=y_{n}^{'} = 0$
时，样条曲线在端点处呈水平状态。
给定两端点处的二阶导数值
$S^{''}(a)=y_{0}^{''}$
,
$S^{''}(b)=y_{n}^{''}$
。特别地，当
$y^{''}_{0}=y_{n}^{''} = 0$
时，称为自然边界条件。
如果
$f(x)$
是以
$b-a$
为周期的周期函数，则
$S(x)$
也应该是具有同样周期的周期函数，在端点处需要满足
$S^{'}(a+0)=S^{'}(b-0)$
，
$S^{''}(a+0)=S^{''}(b-0)$

值得注意的是，这
$4n$
个方程是关于未知量的线性方程，因此很容易通过线性方程组进行求解。

这样以后想忘记都会很难，这里没有给出例子，如果有机会可以给出实现程序。

参考：

【1】数值计算方法，丁丽娟、程纪元

【2】Introduction to Numerical Methods and Matlab Programming for Engineers http://www.math.ohiou.edu/courses/math3600/book.pdf
【3】Spline interpolation http://en.wikipedia.org/wiki/Spline_interpolation
【4】三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) http://www.cnblogs.com/xpvincent/archive/2013/01/26/2878092.html
【5】在博客中用latex写公式 http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/8036018
【6】如何在CSDN博客上插入公式 http://blog.csdn.net/johnnyfdu/article/details/10857743

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