Bezier曲线原理及实现代码（c++）

Bezier曲线原理及实现代码（c++）

       一、原理：
       贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre
Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由 Paul
de Casteljau 于1959年运用 de
Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线
给定点 P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：


且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2 的函数 B(t) 追踪：


。TrueType 字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

P0、P1、P2、P3 四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于 P0 走向 P1，并从 P2 的方向来到 P3。一般不会经过 P1 或 P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。 P0 和 P1 之间的间距，决定了曲线在转而趋进 P3 之前，走向 P2 方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为：


。现代的成象系统，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。

一般化

 
 
 
 
P0、P1、…、Pn，其贝塞尔曲线即


。例如 ：


。如上公式可如下递归表达： 用 

 表示由点 P0、P1、…、Pn 所决定的贝塞尔曲线。则


用平常话来说， 阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语，有


即多项式


又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义
00 = 1。
点 Pi 称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于 P0 并以 Pn 终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex
hull）包含有贝塞尔曲线。

 
 
线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P0 至P1 的 B(t)
所描述的曲线。例如当 t=0.25 时，B(t) 即一条由点 P0 至 P1 路径的四分之一处。就像由 0 至 1 的连续 t，B(t)
描述一条由 P0至 P1 的直线。




为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点 Q0 和 Q1 作为由 0 至 1 的 t：
由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线性贝塞尔曲线。
由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线性贝塞尔曲线。
由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。
 

为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点 R0、R1 所建构：

对于四次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2、Q3，由二次贝塞尔曲线描述的点 R0、R1、R2，和由三次贝塞尔曲线描述的点 S0、S1 所建构：

P(t)=(1-t)P0+tP1 , 

。

矩阵表示为：

　　

，

 。
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2, 

。

矩阵表示为：

　　

，

 。

　　P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3 

矩阵表示为：


， 

。
（6－3－2） 


，

 。 

在（6－3－2）式中，Mn+1是一个n＋1阶矩阵，称为n次Bezier矩阵。


 （6－3－3）


。

其中，



利用（6－3－3）式，我们可以得到任意次Bezier矩阵的显式表示，例如4次和5次Bezier矩阵为：


，


 

可以证明，n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式：


 （6－3－4）


 

二、算法（c++）
工程目录是:Win32App 

vc6.0

#include<windows.h>

#include<stdlib.h>

#include<time.h>

#define NUM 10

LRESULT CALLBACK Winproc(HWND,UINT,WPARAM,LPARAM);

int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstanc,LPSTR lpCmdLine,int nShowCmd)

{

    MSG msg;

    static TCHAR szClassName[] = TEXT("::Bezier样条计算公式由法国雷诺汽车公司的工程师Pierm Bezier于六十年代提出");

    HWND hwnd;

    WNDCLASS wc;

    wc.cbClsExtra =0;

    wc.cbWndExtra =0;

    wc.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);

    wc.hCursor = LoadCursor(NULL,IDC_ARROW);

    wc.hIcon = LoadIcon(NULL,IDI_APPLICATION);

    wc.hInstance = hInstance;

    wc.lpfnWndProc = Winproc;

    wc.lpszClassName = szClassName;

    wc.lpszMenuName = NULL;

    wc.style = CS_HREDRAW|CS_VREDRAW;

    if(!RegisterClass(&wc))

    {

        MessageBox(NULL,TEXT("注册失败"),TEXT("警告框"),MB_ICONERROR);

        return 0;

    }

    hwnd = CreateWindow(szClassName,szClassName,

                        WS_OVERLAPPEDWINDOW,

                        CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,

                        CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,

                        NULL,NULL,hInstance,NULL);

    ShowWindow(hwnd,SW_SHOWMAXIMIZED);

    UpdateWindow(hwnd);

    while(GetMessage(&msg,NULL,0,0))

    {

        TranslateMessage(&msg);

        DispatchMessage(&msg);

    }

    return msg.wParam;

}

LRESULT CALLBACK Winproc(HWND hwnd,UINT message, WPARAM wparam,LPARAM lparam)

{
  HDC hdc;

  static POINT pt[NUM];

  TEXTMETRIC tm;

  static int cxClient,cyClient;

  HPEN hpen;

  int i,j,k,n,t;

  switch(message)

  {

  case WM_CREATE:

      static int cxchar;

      hdc = GetDC(hwnd);

      GetTextMetrics(hdc,&tm);

      cxchar = tm.tmAveCharWidth;

      ReleaseDC(hwnd,hdc);

  case WM_SIZE:

       cxClient = LOWORD(lparam);

      cyClient = HIWORD(lparam);

      return 0;

  case WM_PAINT:

       hdc = GetDC(hwnd);

       srand(time(0));

       Rectangle(hdc,0,0,cxClient,cyClient);

      for(i=0; i<500; i++)

          {

            SelectObject(hdc,GetStockObject(WHITE_PEN));

            PolyBezier(hdc,pt,NUM);

            for(j=0; j<NUM; j++)

            {

                pt[j].x = rand()%cxClient;

                pt[j].y = rand()%cyClient;

            }

            hpen = CreatePen(PS_INSIDEFRAME,3,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));

             DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen));

            PolyBezier(hdc,pt,NUM);

            for(k=0; k<50000000;k++);

          }

      for(i=0; i<100;i++)

      {

        Ellipse(hdc,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient);

        Pie(hdc,j=rand()%cxClient,k=rand()%cyClient,n=rand()%cxClient,t=rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient) ; 

      }

       if((n=(n+j)/2)>cxchar*20) n=cxchar*20;  

        SetTextColor(hdc,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));

        TextOut(hdc,n/2,(t+k)/2,TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"),lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!")));

        ReleaseDC(hwnd,hdc);

          DeleteObject(hpen);

          ValidateRect(hwnd,NULL);

   return 0;

  case WM_DESTROY:

      PostQuitMessage(0);

      return 0;

  }

  return DefWindowProc(hwnd,message,wparam,lparam);

}