Bezier曲线原理及实现代码（c++）

一、原理：
贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre
Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由 Paul de Casteljau 于1959年运用de
Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线
给定点 P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：



且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2 的函数 B(t)
追踪：



。
TrueType 字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

P0、P1、P2、P3 四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于 P0 走向 P1，并从 P2 的方向来到 P3。一般不会经过 P1 或 P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。 P0 和 P1 之间的间距，决定了曲线在转而趋进 P3 之前，走向 P2 方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为：



。
现代的成象系统，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。

一般化

P0、P1、…、Pn，其贝塞尔曲线即



。
例如 ：



。
如上公式可如下递归表达： 用


表示由点 P0、P1、…、Pn 所决定的贝塞尔曲线。则



用平常话来说， 阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语，有



即多项式



又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义
00 = 1。
点 Pi 称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于 P0 并以 Pn 终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex
hull）包含有贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P0 至P1 的 B(t)
所描述的曲线。例如当 t=0.25 时，B(t) 即一条由点 P0 至 P1 路径的四分之一处。就像由 0 至
1 的连续t，B(t) 描述一条由 P0 至 P1 的直线。



为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点 Q0 和 Q1 作为由 0 至 1 的 t：
由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线性贝塞尔曲线。由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线性贝塞尔曲线。由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。
为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点 R0、R1 所建构：
对于四次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2、Q3，由二次贝塞尔曲线描述的点 R0、R1、R2，和由三次贝塞尔曲线描述的点 S0、S1 所建构：
P(t)=(1-t)P0+tP1 ,

。

矩阵表示为：

　　

，

。

P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)*P1+t2P2,

。

矩阵表示为：

　　

，

。

P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3

矩阵表示为：


，

。

（6－3－2）


，

。

在（6－3－2）式中，Mn+1是一个n＋1阶矩阵，称为n次Bezier矩阵。


（6－3－3）


。

其中，



利用（6－3－3）式，我们可以得到任意次Bezier矩阵的显式表示，例如4次和5次Bezier矩阵为：


，



可以证明，n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式：


（6－3－4）



二、算法（c++）
工程目录是:Win32App

vc6.0

#include<windows.h>

#include<stdlib.h>

#include<time.h>

#define NUM 10

LRESULT CALLBACK Winproc(HWND, UINT, WPARAM, LPARAM);

int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance, HINSTANCE hPrevInstanc, LPSTR lpCmdLine, int nShowCmd)

{

MSG msg;

static TCHAR szClassName[] = TEXT("::Bezier样条计算公式由法国雷诺汽车公司的工程师Pierm Bezier于六十年代提出");

HWND hwnd;

WNDCLASS wc;

wc.cbClsExtra = 0;

wc.cbWndExtra = 0;

wc.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);

wc.hCursor = LoadCursor(NULL, IDC_ARROW);

wc.hIcon = LoadIcon(NULL, IDI_APPLICATION);

wc.hInstance = hInstance;

wc.lpfnWndProc = Winproc;

wc.lpszClassName = szClassName;

wc.lpszMenuName = NULL;

wc.style = CS_HREDRAW | CS_VREDRAW;

if(!RegisterClass(&wc))

{

MessageBox(NULL, TEXT("注册失败"), TEXT("警告框"), MB_ICONERROR);

return 0;

}

hwnd = CreateWindow(szClassName, szClassName,

WS_OVERLAPPEDWINDOW,

CW_USEDEFAULT, CW_USEDEFAULT,

CW_USEDEFAULT, CW_USEDEFAULT,

NULL, NULL, hInstance, NULL);

ShowWindow(hwnd, SW_SHOWMAXIMIZED);

UpdateWindow(hwnd);

while(GetMessage(&msg, NULL, 0, 0))

{

TranslateMessage(&msg);

DispatchMessage(&msg);

}

return msg.wParam;

}

LRESULT CALLBACK Winproc(HWND hwnd, UINT message, WPARAM wparam, LPARAM lparam)

{

HDC hdc;

static POINT pt[NUM];

TEXTMETRIC tm;

static int cxClient, cyClient;

HPEN hpen;

int i, j, k, n, t;

switch(message)

{

case WM_CREATE:

static int cxchar;

hdc = GetDC(hwnd);

GetTextMetrics(hdc, &tm);

cxchar = tm.tmAveCharWidth;

ReleaseDC(hwnd, hdc);

case WM_SIZE:

cxClient = LOWORD(lparam);

cyClient = HIWORD(lparam);

return 0;

case WM_PAINT:

hdc = GetDC(hwnd);

srand(time(0));

Rectangle(hdc, 0, 0, cxClient, cyClient);

for(i = 0; i < 500; i++)

{

SelectObject(hdc, GetStockObject(WHITE_PEN));

PolyBezier(hdc, pt, NUM);

for(j = 0; j < NUM; j++)

{

pt[j].x = rand() % cxClient;

pt[j].y = rand() % cyClient;

}

hpen = CreatePen(PS_INSIDEFRAME, 3, RGB(rand() % 256, rand() % 256, rand() % 256));

DeleteObject(SelectObject(hdc, hpen));

PolyBezier(hdc, pt, NUM);

for(k = 0; k < 50000000; k++);

}

for(i = 0; i < 100; i++)

{

Ellipse(hdc, rand() % cxClient, rand() % cyClient, rand() % cxClient, rand() % cyClient);

Pie(hdc, j = rand() % cxClient, k = rand() % cyClient, n = rand() % cxClient, t = rand() % cyClient, rand() % cxClient, rand() % cyClient, rand() % cxClient, rand() % cyClient) ;

}

if((n = (n + j) / 2) > cxchar * 20) n = cxchar * 20;

SetTextColor(hdc, RGB(rand() % 256, rand() % 256, rand() % 256));

TextOut(hdc, n / 2, (t + k) / 2, TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"), lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!")));

ReleaseDC(hwnd, hdc);

DeleteObject(hpen);

ValidateRect(hwnd, NULL);

return 0;

case WM_DESTROY:

PostQuitMessage(0);

return 0;

}

return DefWindowProc(hwnd, message, wparam, lparam);

}