扩展的欧几里得算法的应用

扩展欧几里德算法的应用

（1）求解不定方程

用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;

这个应该比较好理解了，两个可以同乘以k

1	bool linear_equation( int a, int b, int c, int &x, int &y)

2

{

3	int d=exgcd(a,b,x,y);

4

if (c%d)

5	return false ;

6	int k=c/d;

7	x*=k; y*=k; //求得的只是其中一组解

8	return true ;

9

}

（2）求解模线性方程（线性同余方程）

同余方程 ax≡b (mod n) (也就是 ax % n = b) 对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b (也就是 b % (gcd(a,n))==0 )。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

1	在方程 3x ≡ 2 (mod 6) 中， d = gcd(3,6) = 3 ，3 不整除 2，因此方程无解。

2

3	在方程 5x ≡ 2 (mod 6) 中， d = gcd(5,6) = 1，1 整除 2，因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有一个解: x=4。

证明略去，直接说算法：

首先看一个简单的例子：

5x=4(mod3)

解得x = 2,5,8,11,14…….

由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.

那么这个解的间隔是怎么决定的呢？

如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.

我们设解之间的间隔为dx.

那么有

a*x = b(mod n);

a*(x+dx) = b(mod n);

两式相减，得到:

a*dx(mod n)= 0;

也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.

设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.

即a*dx = a*n/d;

所以dx = n/d. (d = gcd(a,n) )

因此解之间的间隔就求出来了.

01	bool modular_linear_equation( int a, int b, int n)

02

{

03	int x,y,x0,i;

04	int d=exgcd(a,n,x,y);

05

if (b%d)

06	return false ;

07	x0=x*(b/d)%n; //特解

08	for (i=1;i<d;i++)

09	printf ( "%d\n" ,(x0+i*(n/d))%n);

10	return true ;

11

}

（3）求解模的逆元；

同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。

在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

练习题

青蛙的约会