数据结构——红黑树(RB-Tree)
2014-08-06 18:36
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定义：
红黑树本质上是一棵二叉查找树，但在二叉查找树的基础上，每个节点增加了一位存储来表示节点的颜色。有关二叉查找树的介绍在前面博文《二叉查找树》已经介绍过了，这里不再进行讲解。红黑树的性质：
每个节点或是红色的，或是黑色的。根节点是黑色的。
每个叶节点（NULL）是黑色的。
如果一个节点是红色的，则它的两个孩子节点都是黑色的。
对每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。
红黑树的结构图：
旋转
当对红黑树进行插入和删除操作时，会违背红黑树的性质，为了维护这些性质，必须要改变树中某些节点的颜色以及指针结构。指针结构的修改时通过旋转来完成的，这是一种能保持二叉查找树性质的查找树局部操作。左旋转：
当在某个节点x上做左旋转操作时，假设它的右孩子为y而不是NULL，左旋转以x到y的链为“支轴”进行。它使y成为该子树的新的根节点，x成为y的左孩子，y的左孩子成为x的右孩子。LEFT_ROTATE(T,x)
y = right[x] //获取右孩子
rihgt[x] = left[y] //设置x的右孩子为y的左孩子
if left[y] != NIL
then parent[left[y]] = x
parent[y] = parent[x] //设置y的父节点为x的父节点
if parent[x] == NIL
then root[T] = y
else if x==left[parent[x]
then left[parent[x]] = y
else right[[parent[x]] = y
left[y] = x //设置y的左孩子为x
parent[x] =y右旋转：
右旋转与左旋转的描述差不多，具体见下面结构图
RIGHT_ROTATE(T,y)
x = left[y] //获取左孩子
left[y] = right[x] //设置y的左孩子为x的右孩子
if right[x] != NIL
then parent[right[x]] = y
parent[x] = parent[y] //设为x的父节点为y的父结点
if parent[y] == NIL
then root = x
else if y== left[parent[y]]
then left[parent[y]] = x
else right[parent[y]] = x
right[x] = y //设置x的右孩子为y
parent[y] = x插入操作：
红黑树的插入操作类似于二叉查找树的插入操作，只是在它的基础上进行改进，先把节点按照二叉查找树的插入方法进行插入，再把该插入的节点标记为红色（为了满足性质5），为了保证插入节点后能够维持红黑树的性质，我们必须调用一个辅助程序RB_INSERT_FIXUP来对结点重新着色并旋转，使得满足红黑树的性质。RB_INSERT(T,z)
y = NIL
x =root(T)
while x != NIL
do y=x
if key[z]<key[x]
then x=left[x]
else x=right[x]
parent[z] = y
if y =NIL
then root =z
else if key[z] < key[y]
then left[y] =z
else right[y] =z
left[z] = NIL
right[z] =NIL
color[z] = RED //新插入结点标记为红色
RB_INSERT_FIXUP(T,z) //进行调整，使得满足红黑树性质插入节点后，如果会破坏红黑树的性质时，只能破坏性质2或者性质4，其他性质不会被破坏。若破坏了性质2，则新插入的节点必定为根节点，此时只需修改该节点的颜色即可。
因为在插入新结点z之前，红黑树的性质没有被破坏。若插入结点z后违反性质4，必定是因为z和其父亲结点parent[z]都是红色的。假设新插入结点z，导致红黑树性质4被破坏，此时z和其父节点parent[z]都是红色，由于在插入结点z之前红黑树的性质没有被破坏，parent[z]是红色，很容易推出z的祖父结点parent[parent[z]]必定是黑色。此时根据parent[z]是parent[parent[z]]的左孩子还是右孩子进行讨论。因为左右之间是对称的，这里只给出了parent[z]作为parent[parent[z]]的左孩子进行讨论的，然后给出了三种可能的情况。
情况1：z的叔叔节点y是红色的
此时parent[z]和y都是红色的，解决办法是将z的父节点parent[z]和叔叔结点y都着为黑色，而将z的祖父结点parent[parent[z]]着为红色，然后从祖父结点parent[parent[z]]继续向上判断是否破坏红黑树的性质。
情况2：z的叔叔节点y是黑色且z是一个右孩子
情况3：z的叔叔节点y是黑色且z是一个左孩子
情况2和情况3中y都是黑色的，通过z是parent[z]的左孩子还是右孩子进行区分的。情况2中z是右孩子，可以在parent[z]结点将情况2通过左旋转为情况3，使得z变为左孩子。无论是间接还是直接的通过情况2进入到情况3，z的叔叔y总是黑色的。在情况3中，将parent[z]着为黑色，parent[parent[z]]着为红色，然后从parent[parent[z]]处进行一次右旋转。情况2、3修正了对性质4的违反，修正过程不会导致其他的红黑性质被破坏。
RB_INSERT_FIXUP(T,z)
while color[parent[z]] = RED
do if parent[z] == left[parent[parent[z]]]
then y = right[parent[parent[z]]]
//情况1，z的叔叔为红色
if color[y] == RED
then color[parent[z]] = BLACK //case 1
color[y] = BLACK //case 1
color[parent[parent[z]]=RED //case 1
z= parent[parent[z]] //case 1
//情况2，z的叔叔为黑色，z为右孩子
else if z == right[parent[z]] //case 2
then z = parent[z] //case 2
LEFT_ROTATE(T,z)
//情况3，z的叔叔为黑色，z为左孩子
color[parent[z]]=BLACK //case 3
color[parent[parent[z]] = RED //case 3
RIGHT_ROTATE(T, parent[parent[z]])//case 3
else (same as then clause with “right” and “left” exchanged)
color(root(T)) = BLACK; //将根结点设置为黑色删除操作：
红黑树的删除操作是在二叉查找树删除的基础上进行改进，主要是因为删除节点时可能会破坏红黑树的性质。如果被删除的节点y是红色的，则删除后不会破坏红黑树的性质，既不需要修改。原因如下：树中的黑高没有变化
不存在两个相邻的红节点
如果y是红色，就不可能是根节点，所以根节点仍然是黑色
如果被删除的节点y是黑色，则会破坏红黑树的性质，具体破坏了哪些性质我们进行讨论：
如果y是原来的根节点，而y的一个红色的孩子节点成为了新的根节点，这就违背了性质2。
如果x和parent[y]（此时parent[x] = parent[y]）都是红色，就违反了性质4。
删除y将会导致先前包含y的任何路径上黑结点个数减少1，违反了性质5。改正这一问题的方法是将现在占有y原来位置的节点x视为还有一重额外的黑色。即将任意包含结点x的路径上黑结点个数加1，这样可以保证性质5成立。
当将黑色结点y被删除时，将其黑色“下推”至其子结点，导致问题变成为结点x可能即不是红，又不是黑，从而违反性质1。因为给x增加了一种颜色，即结点x是双重黑色或者是红黑色。这样就分别给包含x的路径上黑结点个数贡献2个或1个。但是x的color属性仍然是RED（如果x是红黑的）或BLACK（如果x是双重黑色）。换而言之，一个结点额外的黑色反映在x指向它，而不是它的color属性。
RB_TRANSPLANT(T,u,v) 1 if u.p == T.nil 2 T.root = v 3 elseif u == u.p.left 4 u.p.left = v 5 else u.p.right = v 6 v.p = u.p
RB_DELETE(T,z) 1 y = z 2 y_original.color = y.color 3 if z.left == T.nil 4 x = z.right 5 RB_TRANSPLANT(T,z,z.right) 6 else if z.right == T.nil 7 x - z.left 8 RB_TRANSPLANT(T,z,z.left) 9 else y = TREE_MINIMUN(z.right) 10 y_original.color = y.color 11 x = y.right 12 if y.p == z 13 x.p = y 14 else RB_TRANSPLANT(T,y,y.right) 15 y.right = z.right 16 y.right.p = y 17 RB_TRANSPLANT(T,z,y) 18 y.left = z.left 19 y.left.p = y 20 y.color = z.color 21 if y_original.color == BLACK 22 RB_DELETE_FIXUP(T,x)
或者
RB_DELETE(T,z)
if left[z] ==NIL or right[z] == NIL
then y=z
else y=TREE_SUCCESSOR(z)
if left[y] != NIL
then x=left[y]
else x=right[y]
parent[x] = parent[y]
if p[y] ==NIL
then root[T] =x
else if y = left[[prarnt[y]]
then left[parent[y]] = x
else right[parent[y]] =x
if y!=z
then key[z] = key[y]
copy y's data into z
if color[y] == BLACK //当被删除结点为黑色时候进行调整
then RB_DELETE_FIXUP(T,x)
return y过程RB_DELETE_FIXUP恢复性质1，2，4。对于恢复性质2、4很简单，因为x是红色，所有直接将x结点着为黑色即可。这里着重介绍了如何恢复性质1。此时x是黑色，需要根据x是左孩子还是右孩子两种情况进行恢复，因为左右是对称的，这里只给出了x是左孩子的恢复过程。将x作为第一个额外的黑色结点，从x结点开始循环，将额外的黑色结点沿着树向上移，直到：
x指向红黑节点，将x着为单黑色
x指向根节点，此时移除额外的黑色
执行适当的旋转和重新着色，退出循环
在循环过程中，x总是指向一个具有双重黑色的非根结点。设w是x的兄弟结点，因为x是双重黑色的，故w不可能是NIL。
RB_DELETE_FIXUP(T,x) 1 while x!= root[T] and color[x] ==BLACK 2 do if x == left[parent[x]] 3 then w = right[parent[x]] 4 if color[w] == RED 5 then color[w] = BLACK //case 1 6 color[parent[x]] = RED //case 1 7 LEFT_ROTATE(T,PARENT[x]) //case 1 8 w = right[parent[x]] //case 1 9 if color[left[w]] == BLACK and color[right[w]] = BLACK 10 then color[w] = RED //case 2 11 x = parent[x] //case 2 12 else if color[right[w]] =BLACK 13 then color[left[w]] = BLACK //case 3 14 color[w] = RED //case 3 15 RIGHT_ROTATE(T,w) //case 3 16 w = right[parent[x]] //case 3 17 color[w] = color[parent[x]] //case 4 18 color[parent[x]] = BLACK //case 4 19 color[right[w]] = BLACK //case 4 20 LEFT_ROTATE(T,parent[x]) //case 4 21 x=root(T) //case 4 22 else(same as then clasue with “right” and “left” exchanged) 23 color[x]=BLACK
情况1：x的兄弟节点w是红色的。
因为w必须有黑色子节点，所以改变w及parent[x]的颜色,并对parent[x]做一次左旋转。现在x的新兄弟节点是旋转之前w的某个子节点，其颜色为黑色。这样情况1转换为情况2、3或4处理。
4 if color[w] == RED 5 then color[w] = BLACK //case 1 6 color[parent[x]] = RED //case 1 7 LEFT_ROTATE(T,PARENT[x]) //case 1 8 w = right[parent[x]] //case 1
情况2：x的兄弟节点w是黑色的，而且w的两个子节点都是黑色的。
因为w是黑色的，所以从x和w上去掉一重黑色，使得x只有一重黑色，而w为红色，为了补偿从x和w上去掉的一重黑色，在原来是红色或黑色的parent[x]上新增一重额外的黑色，通过将parent[x]作为新节点x来重复while循环。
9 if color[left[w]] == BLACK and color[right[w]] = BLACK 10 then color[w] = RED //case 2 11 x = parent[x] //case 2
情况3：x的兄弟节点w是黑色的，w的左孩子节点是红色的，右孩子节点是黑色的。
可以交换w和其左孩子left[w]的颜色，然后对w进行右旋转。现在x的新兄弟节点w是一个有着红色右孩子的黑色节点，这样将情况3转换为情况4。
12 else if color[right[w]] =BLACK 13 then color[left[w]] = BLACK //case 3 14 color[w] = RED //case 3 15 RIGHT_ROTATE(T,w) //case 3 16 w = right[parent[x]] //case 3
情况4：x的兄弟节点w是黑色的，且w的右孩子节点是红色的。
将w颜色设置为parent[x]的颜色，parent[x]设置为黑色，w的右孩子right[w]设置为黑色，并对parent[x]做一次右旋转，最后把root设置为x。
17 color[w] = color[parent[x]] //case 4 18 color[parent[x]] = BLACK //case 4 19 color[right[w]] = BLACK //case 4 20 LEFT_ROTATE(T,parent[x]) //case 4 21 x=root(T) //case 4
参考：http://www.cnblogs.com/Anker/archive/2013/01/30/2882773.html
https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/03.01.md
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