0-1 多重 组合背包的自学之路(不断更新中)

本文定义(代码属于个人理解+手打)参考于:http://www.cnblogs.com/tanky_woo/archive/2010/07/31/1789621.html

谢谢分享，感谢原作者，个人对其略加内容，还有就是感谢(聪明)kiwi的pdf。晚安~

晚上打了几盘地狱人机，简直被打爆，然后打玩家开具4-17逆风局，我用剑圣3次四杀(两次被抢pentakill)！31-7-4的人头比超神翻盘打爆对面卡特

01背包：

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

把这个过程理解下：在前i件物品放进容量v的背包时，

它有两种情况：

第一种是第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]

第二种是第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][v-c[i]]+w[i]

（第二种是什么意思？就是如果第i件放进去，那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品）

最后比较第一种与第二种所得价值的大小，哪种相对大，f[i][v]的值就是哪种。

（这是基础，要理解！）

这里是用二位数组存储的，可以把空间优化，用一位数组存储。

用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包里得到的价值。把i从1~n(n件)循环后，最后f[v]表示所求最大值。

*这里f[v]就相当于二位数组的f[i][v]。那么，如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]？（重点！思考）

首先要知道，我们是通过i从1到n的循环来依次表示前i件物品存入的状态。即：for i=1..N

现在思考如何能在是f[v]表示当前状态是容量为v的背包所得价值，而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]标签前一状态的价值？

逆序！

这就是关键！

分析上面的代码：当内循环是逆序时，就可以保证后一个f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一状态的！

这里给大家一组测试数据：

测试数据：

10,3

3,4

4,5

5,6



题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
int f[1024];
int w[1024];
int c[1024];
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int n,m;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&c[i]);
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&w[i]);

memset(f,0,sizeof(f));

for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=m;j>=w[i];j--)
{
if(f[j-w[i]]+c[i]>f[j])//定义为装入c[i]物品的第[j-w[i]]位置，依次刷新
f[j]=f[j-w[i]]+c[i];//恰巧此时f[j-w[i]]为上一状态，所以可以拿来使用，
}                           //所以说就是在每一个质量位上一直在累加
}
printf("%d\n",f[m]);
}
return  0；
}

02完全背包：

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

完全背包按其思路仍然可以用一个二维数组来写出：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

同样可以转换成一维数组来表示：

伪代码如下：

顺序！

想必大家看出了和01背包的区别，这里的内循环是顺序的，而01背包是逆序的。

现在关键的是考虑：为何完全背包可以这么写？

在次我们先来回忆下，01背包逆序的原因？是为了是max中的两项是前一状态值，这就对了。

那么这里，我们顺序写，这里的max中的两项当然就是当前状态的值了，为何？

因为每种背包都是无限的。当我们把i从1到N循环时，f[v]表示容量为v在前i种背包时所得的价值，这里我们要添加的不是前一个背包，而是当前背包。所以我们要考虑的当然是当前状态。

#include<cstdio>
#include<cstring>
int f[1024];
int w[1024];
int c[1024];
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int n,m;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&c[i]);
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&w[i]);

memset(f,0,sizeof(f));

//		for(int i=0;i<n;i++)
//		{
//			for(int j=m;j>=w[i];j--)
//			{
//				if(f[j-w[i]]+c[i]>f[j])
//				f[j]=f[j-w[i]]+c[i];
//			}
//		}
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=w[i];j<=m;j++)
{
if(f[j-w[i]]+c[i]>f[j])//作为先序首先无限对高端值钱的添加
f[j]=f[j-w[i]]+c[i];//就是对0-1背包的改版
}
}
printf("%d\n",f[m]);
}

}

03多重背包：

多重背包转换成 01 背包问题就是多了个初始化，把它的件数C 用二进制分解成若干个件数的集合，这里面数字可以组合成任意小于等于C的件数，而且不会重复，之所以叫二进制分解，是因为这样分解可以用数字的二进制形式来解释

比如：7的二进制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 这三个数可以组合成任意小于等于7 的数，而且每种组合都会得到不同的数

15 = 1111 可分解成 0001 0010 0100 1000 四个数字

如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110 前三个数字可以组合成 7以内任意一个数，即1、2、4可以组合为1——7内所有的数，加上 0110 = 6 可以组合成任意一个大于6 小于等于13的数，比如12，可以让前面贡献6且后面也贡献6就行了。虽然有重复但总是能把
13 以内所有的数都考虑到了，基于这种思想去把多件物品转换为，多种一件物品，就可用01 背包求解了。

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int dp[100005];
int w[1000];
int c[1000];
int main(){
int n,m,a,b,cc,cnt;
while(cin >> n >> m) //
{
cnt=1;
memset(dp,0,sizeof(dp)); memset(c,0,sizeof(c));
memset(w,0,sizeof(w));
for(int i=1;i<=n;i++){
cin >> a >> b >> cc;       //a个东西质量为b,jiazhiwei cc
for(int j=1;j<=a;j*=2){
w[cnt]=j*b;
c[cnt++]=cc*j;
a-=j;
}
if(a>0){
w[cnt]=a*b;
c[cnt++]=cc*a;
}
}
dp[0]=0;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
for(int j=m;j>=w[i];j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);
cout << dp[m] <<endl;
}
return 0;
}