[家里蹲大学数学杂志]第256期第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[非数学类]试题

1($4\times 6'=24'$) 解答下列各题.

(1)求极限 $\dps{\ls{n}\sez{1+\sin\pi\sqrt{1+4n^2}}^n}$.

(2)证明广义积分 $\dps{\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\rd x}$ 不是绝对收敛的.

(3)设函数 $y=y(x)$ 由 $x^3+3x^2y-2y^3=2$ 所确定, 求 $y(x)$ 的极值.

(4)过函数 $y=\sqrt[3]{x}\ (x\geq 0)$ 上的点 $A$ 作切线, 使该切线与曲线及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积为 $\dps{\frac{3}{4}}$, 求点 $A$ 的坐标.

2($12'$) 计算定积分 $\dps{\int_{-\pi}^\pi \frac{x\sin x \arctan e^x}{1+\cos^2x}\rd x}$.

3($12'$) 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处存在二阶导数, 且 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0}$. 证明: 级数 $\dps{\sum_{n=1}^\infty \sev{f\sex{\frac{1}{n}}}}$ 收敛.

4($10'$) 设 $[a,b]$ 上的可微函数 $f$ 满足 $$\bex f(x)\in [0,\pi];\quad f'(x)\geq m>0,\quad\forall\ a\leq x\leq b. \eex$$ 试证: $$\bex \sev{\int_a^b \sin f(x)\rd x}\leq\frac{2}{m}. \eex$$

5($14'$) 设 $\vSa$ 是一个光滑封闭曲面, 方向朝外, 给定第二型曲面积分 $$\bex I=\iint_\vSa (x^3-x)\rd y\rd z+(2y^3-y)\rd z\rd x +(3z^3-z)\rd x\rd y. \eex$$ 试确定曲面 $\vSa$, 使得积分 $I$ 的值达到最小, 并求该最小值.

6($14'$) 设 $\dps{I_\alpha(r)=\oint_C\frac{y\rd x-x\rd y}{(x^2+y^2)^\alpha}}$, 其中 $\alpha$ 为常数, 曲线 $C$ 为椭圆 $x^2+xy+y^2=r^2$, 取正向. 求极限 $$\bex \lim_{r\to +\infty}I_\alpha(r). \eex$$

7($14'$) 判断级数 $\dps{\sum_{n=1}^\infty \frac{ 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}} {(n+1)(n+2)}}$ 的敛散性, 若收敛, 求其和.