学习匈牙利算法总结（求解二分图最大匹配）

学习一下最基础的匈牙利算法。

感谢参考：

/article/9119012.html

/article/1899213.html

http://baike.baidu.com/view/501092.htm?fr=aladdin

/article/1613615.html

匈牙利算法代码并不复杂，但是其中算法蕴含的思想理解是有难度的，其思想的理解对网络流算法的学习有很大帮助。

二分图是这样一个图，它的顶点可以分类两个集合X和Y，所有的边关联在两个顶点中，恰好一个属于集合Ｘ，另一个属于集合Ｙ。给定一个二分图G，M为G边集的一个子集，如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。二分图的最大匹配有两种求法，第一种是最大流；第二种就是我现在要讲的匈牙利算法。这个算法说白了就是最大流的算法，但是它跟据二分图匹配这个问题的特点，把最大流算法做了简化，提高了效率。

概念：

未盖点：设Vi是图G的一个顶点，如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称Vi 是一个未盖点。

交错路：设P是图G的一条路，如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M，就称P是一条交错路。

可增广路：两个端点都是未盖点的交错路叫做可增广路。

bool 寻找从k出发的对应项出的可增广路
{
while (从邻接表中列举k能关联到顶点j)
{
if (j不在增广路上)
{
把j加入增广路;
if (j是未盖点 或者 从j的对应项出发有可增广路)
{
修改j的对应项为k;
则从k的对应项出有可增广路,返回true;
}
}
}
则从k的对应项出没有可增广路,返回false;
}

void 匈牙利hungary()
{
for i->1 to n
{
if (则从i的对应项出有可增广路)
匹配数++;
}
输出 匹配数;
}

用通俗的话描述匈牙利算法就是：不停的找增广路径,并增加匹配的个数。

增广路径顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径,在匹配问题中,增广路径的表现形式是一条"交错路径",也就是说这条由图的边组成的路径,它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且始点和终点还没有被选择过.这样交错进行,显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径,我们可以将第一条边改为已匹配,第二条边改为未匹配...以此类推.也就是将所有的边进行"反转",容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对.另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路.

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int n1,n2,m,ans;
int result[101];//记录V2中的点匹配的点的编号
bool state[101];//记录V2中的每个点是否被搜索过
bool data[101][101];//邻接矩阵true代表有边相连
void init(){
int t1,t2;
memset(data,0,sizeof(data));
memset(result,0,sizeof(result));
ans=0;
scanf("%d%d%d",&n1,&n2,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&t1,&t2);
data[t1][t2]=true;
}
return;
}
bool find(int a){
for(int i=1;i<=n2;i++){
if(data[a][i]==1&&!state[i]){//如果节点i与a相邻并且未被查找过
state[i]=true;//标记i为已查找过
if(result[i]==0//如果i未在前一个匹配M中
||find(result[i])){//i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路
result[i]=a;//记录查找成功记录
return true;//返回查找成功
}
}
}
return false;
}
int main(){
init();
for(int i=1;i<=n1;i++){
memset(state,0,sizeof(state));//清空上次搜索时的标记
if(find(i))ans++;//从节点i尝试扩展
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}

程序默认有向图的最大匹配。程序分析：

result[]表示搜索i的增广路径之后，得到的匹配结果。每次搜索i的增广路径，都要将state[]数组初始化为全0，搜索过后不就用搜索的原理：如果从一个点A出发，没有找到增广路径，那么无论再从别的点出发找到多少增广路径来改变现在的匹配，从A出发都永远找不到增广路径。如果找到增广路径皆大欢喜，返回ture。