图算法之：匈牙利算法（最大二分匹配）

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匈牙利算法是解决寻找二分图最大匹配的。

(一)预备知识

什么是二分图：二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。



什么是匹配：把上图想象成3男4女搞对象（无同性恋），连线代表彼此有好感，但最终只能1夫1妻，最终的配对结果连线就是一个匹配。匹配可以是空。

什么是最大匹配：在有好感的基础上，能够最多发展几对。

现在要用匈牙利算法找出最多能发展几对。

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匈牙利算法是解决寻找二分图最大匹配的。

(二)匈牙利算法正文：

匈牙利算法中有个非常非常最重要的概念叫做-交错路径，或者叫交错树，指的同一个东西。交错路径是这样的。现在有一个匹配如图黑线所示



则其交错路径为：



交错路径是对于一个匹配而言的，交错路径的起点和终点必须不是匹配中的点，而且匹配中的边在交错路径中交替出现。

先给一个例子

1、起始没有匹配



2、选中第一个x点找第一跟连线



3、选中第二个点找第二跟连线



4、发现x3的第一条边x3y1已经被人占了，找出x3出发的的交错路径x3-y1-x1-y4，把交错路中已在匹配上的边x1y1从匹配中去掉，剩余的边x3y1 x1y4加到匹配中去



5、同理加入x4,x5。

匈牙利算法可以深度有限或者广度优先，刚才的示例是深度优先，即x3找y1,y1已经有匹配，则找交错路。若是广度优先，应为：x3找y1,y1有匹配，x3找y2。