算法导论 | 第25章 所有结点对的最短路径问题

零、前言

前面讲了单源最短路径问题，指定一个原点一个终点，找到最短路径。但是如果我们要求所有结点对呢？

方案一：可以对每一个结点调用一次单源最短路径算法，一共调用|V|次。（每指定一个原点，可以求出其他任何点到该原点的举例）

对于权值为非负的图，可以调用Dijkstra算法，不同的优先队列实现得到不同的时间复杂度：①线性数组，O(V^3 + VE) = O(V^3)。②二叉堆，O(VElgV),在稀疏图的情况下是一个较大的改进。③斐波那契堆，O(V^2lgV + VE)。

如果有权重为负的边，就要使用Bellman-Ford算法。时间复杂度为O(V^2E),在稀疏图的情况下，时间为O(V^4)。

显然上述方法时间复杂度较大，我们可以利用Floyd-Warshall算法和Johnson算法(用于稀疏图)来求解。

Floyd-Warshall算法用邻接矩阵表示，Johnson算法用邻接表表示。

一、表示方式

1、权重的表示：



2、返回的是一个矩阵，dij表示从i结点到j结点的最短路径权重。注意，dij和dji不一样。为了能求出最短路径，我们还要保存父节点信息，pij表示从i结点到j结点时，j的父节点的位置。那么到时候通过修改22章的PRINT-PATH算法就能得到想要的结果。



3、最短路径和矩阵乘法

（1）利用动态规划来分析，lij(m)为在结点i和结点j之间最多有m条边的最小权重。而求lij(m)的时候利用lij(m-1)和在其中任意选一点k得到两段权值之和的最小值进行比较，取最小值，即



那么对于n个结点来说，求得lij(n-1)就已经达到了最优化，因此有



（2）自底向上实现

伪代码



通过对比矩阵乘法



两者结构很相似，因此我们对最短路径求解的时候，可以按照矩阵的方程来求解：L(n-1) = W(n-1)。主循环为：



时间复杂度为O(n^4)。

------->优化

对于矩阵或者数的n次方来说，可以通过重复平方的方法来讲时间复杂度将为O(n^3 logN)。

又因为有公式



可以不用考虑越界问题，于是得到代码如下：

二、Floyd-Warshall算法

这里使用的动态算法不是上面提到的那种，可以讲时间复杂度压缩到O(V^3)。上面的是按照从i到j的边的个数来递归定义的。这里是按照中间点的个数来定义的，其实质也差不多，但是递归的方式发生了变化。

从顶点vi到vj有一条长度为arcs[i][j]的路径，但不一定是最短的，需要经过n次试探，中间节点依次从v0、v1....vn-1增加，步骤如下：

（1）先考察路径(vi,v0,vj)师傅存在，如果存在比较(vi,vj)和(vi,v0)+(vi,vj)的大小，取最小值为，中间节点序号不大于0的最短路径。

（2）再增加一个节点v1，判断路径(vi...v1)和(v1...vj)是否存在，注意，vi到v1和v1到vj之间的节点序号最多只有v0一个，然后将二者的和与刚求得的新的(vi,vj)比较，取最小值更新。

（3）依次增加，比如增加节点k那么判断(vi....vk)+(vk...vj)之和的路径值与最新的(vi,vj)比较取最小值更新。注意(vi....vk)和(vk...vj)之间的节点取值序号必须在0-- k-1之间。



递归公式为：

FLOYD-WARSHALL(W)
{
n = W.rows;
D0 = W;
for(k = 1;k <= n;++k){
let Dk = (dij(k))be a new n*n matrix;
for i = 1 to n
for j = 1 to n
dij(k) = min(dij(k-1),dik(k-1)+dkj(k-1) )
}
return Dn;
}

构建一条最短路径

三、用于稀疏图的Johnson算法

没看太懂，详细参考算法导论P409