「算法导论」：思考题2-4，逆序对问题

问题描述：

假设A[1..n]是一个有n个不同数的数组，若i<j且a[i]>a[j]，则对偶(i, j)称为A的一个逆序对(inversion)。给出一个确定在n个元素的任何排列中逆序对数量的算法，最坏情况下需要o(nlgn)。

问题分析：

算法的思路是从排序的过程中来计算逆序对，因为排序正是修正逆序的过程。既然要控制在o(nlgn)以内，以现在接触的算法来说，就选用归并排序。那么归并排序的过程中如何去确定逆序对的数量呢？首先，对于归并排序来讲，分解、解决、合并三步里的合并步骤是解决问题的关键，在这一步中，L与R两个子数组中的数都是相对有序的，并且L数组的下标都是小于R数组的下标的，这样一来，要想出现逆序对就只能是在L中出现某个值x比R数组中的值y大，而此时，排在x之后的所有值也必然要比y的值要大，这样我们就求得了在当前合并步骤中与y相关的逆序对的总量。

由于在归并排序中，每次从L、R数组中取出的数都是未排元素中的最小值，因此不会出现R数组中的某数y“丢失”逆序对的情况，因为此时L数组中所有的已经归并的元素绝不可能比y要大。这样，递归的执行这个步骤就解决了此问题。

时间复杂度：

o(nlgn)

代码：

/*************************************************************************
> File Name: inversion_count.cpp
> Author sangoly
> Mail: sangoly@aliyun.com
> Created Time: 2014年07月02日 星期三 14时44分37秒
************************************************************************/

#include<iostream>
#include<limits>
using namespace std;

int merge(int list[], int start, int middle, int end) {
int llen = middle - start + 1;
int rlen = end - middle;

int* larr = new int[llen + 1];
int* rarr = new int[rlen + 1];

int i, j;
for (i = 0; i < llen; i++) {
larr[i] = list[start + i];
}
for (j = 0; j < rlen; j++) {
rarr[j] = list[middle + 1 + j];
}
// Add the guard
larr[llen] = numeric_limits<int>::max();
rarr[rlen] = numeric_limits<int>::max();

int inversions = 0;
bool count = false;
i = j = 0;
for (int k = start; k <= end; k++) {
if (!count && larr[i] > rarr[j]) {
inversions += llen - i;
count = true;
}
if (larr[i] <= rarr[j])
list[k] = larr[i++];
else {
list[k] = rarr[j++];
count = false;
}
}
delete [] larr;
delete [] rarr;
return inversions;
}

int inversion_count(int list[], int start, int end) {
if (start >= end)
return 0;
int inversions = 0;
int middle = (start + end) / 2;
inversions += inversion_count(list, start, middle);
inversions += inversion_count(list, middle + 1, end);
inversions += merge(list, start, middle, end);
return inversions;
}

int main() {
int list[] = {2, 3, 8, 6, 1};
int inversions = inversion_count(list, 0, sizeof(list) / sizeof(int) - 1);
cout<<"The inversions are "<<inversions<<endl;
return 0;
}