wordBreak一种解法的算法分析

bool wordBreak(string s, unordered_set<string> &dic)

{

std::unordered_set<std::string>::const_iterator get;

int sLength = s.size();

int right = 0;

string tmp;

stack<int> index;

int start;

while (true)

{

tmp += s[right];

get = dic.find(tmp);

if (get != dic.end())

{

index.push(right);

tmp.clear();

if (right == sLength - 1)return true;

}

if (right == sLength - 1)

{

if (index.empty())return false;

right = index.top();

index.pop();

start = index.empty() ? 0 : index.top() + 1;

tmp = string(s, start, right - start + 1);

}

right += 1;

}

}

这道程序来自leetcode的wordbreak，这个解法是很粗糙的，会出现超时。现在分析一下程序开销

这个程序是首先匹配最短的单词，比如字典里有 word和words，输入串是words，那么word会被首先选择，最后回溯移动会匹配到words
栈index记录每个单词最后一个字母的下标
tmp用于匹配，成功则清空，失败则增加下一个字幕继续匹配
如果匹配到串的最后不成功，就最后一个成功的单词增加一个，再向后匹配
一次匹配不成功，要么是因为不可能成功，或者是中间使用的较短的/不合适的单词

假设 串长度为s，字典里共有n个单词

一 空间开销

最差的情况，串种的每个字母有独立匹配，空间消耗和串长度一样，所以是O(s)

二 时间开销

在实际测试中，运行时间非常长。直接分析比较困难，所以采用递推的方式来分析。

假设第一次匹配到末尾时为：s1，s2，........sn-1，sn，k。si是匹配成功的单词的长度，b是最后一次匹配的长度，b这个串可能匹配成功也可能失败。已经完成的循环次数为：s1+s2+.....+sn-1+sn+k = s。如果匹配失败，还需回退。

最简单的情况：最后一个匹配成功的单词(子串)，增加下一个子母，然后继续向后匹配。index栈size在不断递减，直到最后一次，index为空，而且匹配串tmp是从0开始直道末尾，tmp等于s，而且匹配不成功，这是就可以确定匹配失败，退出循环。需要的循环次数为：

k

+ sn+k

+sn-1+sn +k

......

+ s3+s4+....+sn+k

s2+s3+.......+k

=nk+(n-1)sn+(n-2)sn-1+.....+3s4+2s3+s2 .如果取si = s/n 这个结果近似是O(ns)

最复杂的情况：回退之后再往后匹配还会匹配成功若干单词，但是最终还是失败，最极端的情况：s = aaaaaaaaaaaaaaaaaa末尾再加一个b：sb，‘’s‘’中含有若干个a，简记为s个。dic = a,aa,aaa,aaaa,aaaaa,aaaaaa,aaaaaaa,aaaaaaaa.........n个逐渐增加的单词。记sb的循环次数为C(s),考虑asb的循环次数：

C(s)+

C(s-1)

.............

C(s-n)

这是一个比斐波那契数列增长还要快速的序列。通项C(s-n)的意义为：第一个字母和后面的n个字母合在一起成为一个匹配的单词，后面的串的循环次数就可以用C(s-n)表示。

上面的分析主要考虑了主要的项，一些次要项被省略或者未考虑，不会影响最终的阶数或增长速度。