最小生成树之Prim算法

转自：http://www.java3z.com/cwbwebhome/article/article19/res114.html

1、生成树的概念

　　 连通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树。

　　生成树是连通图的极小连通子图。所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则将出现一个回路；若去掉一条边，将会使之变成非连通图。 生成树各边的权值总和称为生成树的权。权最小的生成树称为最小生成树。

2、最小生成树的性质

　　 用哲学的观点来说，每个事物都有自己特有的性质，那么图的最小生成树也是不例外的。按照生成树的定义，n 个顶点的连通网络的生成树有 n 个顶点、n-1 条边。

3、构造最小生成树，要解决以下两个问题：

( 1).尽可能选取权值小的边，但不能构成回路（也就是环）。

(2).选取n-1条恰当的边以连接网的 n个顶点。

求最小生成树的算法一般都使用贪心策略，有Prim算法和Krusal算法等。

普里姆算法的基本思想：

1）清空生成树，任取一个顶点加入生成树；

2）在那些一个端点在生成树里，另一个端点不在生成树里的边中，选取一条权最小的边，将它和另一个端点加进生成树；

3）重复步骤2，直到所有的顶点都进入了生成树为止，此时的生成树就是最小生成树。

即:　　从连通网络 N = { V, E }中的某一顶点 u0 出发，选择与它关联的具有最小权值的边(u0, v)，将其顶点v加入到生成树的顶点集合U中。以后每一步从一个顶点在U中，而另一个顶点不在U中的各条边中选择权值最小的边(u, v),把它的顶点 v加入到集合U中。如此继续下去，直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合U中为止。

编写程序:对于如下一个带权无向图，给出节点个数以及所有边权值，用Prim算法求最小生成树。



代码的注释我写得很详细，方便理解，有几点需要说明一下。

(1)、2个for循环都是从2开始的，因为一般我们默认开始就把第一个节点加入生成树，因此之后不需要再次寻找它。

( 2)、lowcost[i]记录的是以节点i为终点的最小边权值。初始化时因为默认把第一个节点加入生成树，因此lowcost[i] = graph[1][i]，即最小边权值就是各节点到1号节点的边权值中最小的。

( 3)、mst[i]记录的是lowcost[i]对应的起点，这样有起点，有终点，即可唯一确定一条边了。初始化时mst[i] = 1，即每条边都是从1号节点出发。

输入数据:

7 11

A B 7

A D 5

B C 8

B D 9

B E 7

C E 5

D E 15

D F 6

E F 8

E G 9

F G 11

输出:

A - D : 5

D - F : 6

A - B : 7

B - E : 7

E - C : 5

E - G : 9

Total:39

最小生成树Prim算法朴素版 java语言实现 代码如下

import java.util.*;
public class Main {
static int MAXCOST=Integer.MAX_VALUE;

static int Prim(int graph[][], int n){
/* lowcost[i]记录以i为终点的边的最小权值，当lowcost[i]=0时表示终点i加入生成树 */
int lowcost[]=new int[n+1];

/* mst[i]记录对应lowcost[i]的起点，当mst[i]=0时表示起点i加入生成树 */
int mst[]=new int[n+1];

int min, minid, sum = 0;

/* 默认选择1号节点加入生成树，从2号节点开始初始化 */
for (int i = 2; i <= n; i++){
/* 最短距离初始化为其他节点到1号节点的距离 */
lowcost[i] = graph[1][i];

/* 标记所有节点的起点皆为默认的1号节点 */
mst[i] = 1;
}

/* 标记1号节点加入生成树 */
mst[1] = 0;

/* n个节点至少需要n-1条边构成最小生成树 */
for (int i = 2; i <= n; i++){
min = MAXCOST;
minid = 0;

/* 找满足条件的最小权值边的节点minid */
for (int j = 2; j <= n; j++){
/* 边权值较小且不在生成树中 */
if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0){
min = lowcost[j];
minid = j;
}
}

/* 输出生成树边的信息:起点，终点，权值 */
System.out.printf("%c - %c : %d\n", mst[minid] + 'A' - 1, minid + 'A' - 1, min);

/* 累加权值 */
sum += min;

/* 标记节点minid加入生成树 */
lowcost[minid] = 0;

/* 更新当前节点minid到其他节点的权值 */
for (int j = 2; j <= n; j++){
/* 发现更小的权值 */
if (graph[minid][j] < lowcost[j]){
/* 更新权值信息 */
lowcost[j] = graph[minid][j];

/* 更新最小权值边的起点 */
mst[j] = minid;
}
}
}
/* 返回最小权值和 */
return sum;
}

public static void main(String args[]){
Scanner sc=new Scanner(System.in);
int  cost;
char chx, chy;

/* 读取节点和边的数目 */
int n=sc.nextInt();//节点
int m=sc.nextInt();//边数
int graph[][]=new int[n+1][n+1];

/* 初始化图，所有节点间距离为无穷大 */
for (int i = 1; i <= n; i++){
for (int j = 1; j <= n; j++){
graph[i][j] = MAXCOST;
}
}

/* 读取边信息 */
for (int k = 0; k < m; k++){
chx=sc.next().charAt(0);
chy=sc.next().charAt(0);
cost=sc.nextInt();
int i = chx - 'A' + 1;
int j = chy - 'A' + 1;
graph[i][j] = cost;
graph[j][i] = cost;
}

/* 求解最小生成树 */
cost = Prim(graph, n);

/* 输出最小权值和 */
System.out.println("Total:"+cost);

}
}