范德蒙恒等式的证明

今天我们来认识组合数学中一个重要的恒等式---范德蒙恒等式。这个恒等式的表述如下








很自然的公式，接下来一起来看看它的证明，在维基百科上给出了两种方法证明，分别如下



（1）组合方法证明



甲班有

个同学，乙班有

个同学，从两个班中选出

个一共有

种不同的选法。而换一种思维方式



从甲班中选取

个同学，从乙班中选取

个同学，共有

种方法，而对所有的


就是






可以看出这两种方法应该是相等的，即








（2）生成函数法证明



由于

，对于等式左边有








而对于等式右边有








左右两边一比较可知








成立，证明完毕！





接下来我们看看一些关于范德蒙恒等式的衍生问题。



（1）证明下面恒等式








证明：由








令

和

，那么有








证明完毕！





（2）证明下列的恒等式