动态规划经典题目
2014-06-07 10:53
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1.最大连续子序列之和
题目描述:给定K个整数的序列{ N1, N2, ..., NK },其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, ..., Nj },其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序中元素和最大的一个, 例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 },其最大连续子序列为{11, -4, 13 },最大和为20。
解析:令sum[i]表示data[1:i]序列中的最大连续子序列之和,则其满足最优子结构。状态转移方程可以表示为sum[i]=max(sum[i-1]+a[i],a[i])。
#include <stdio.h> #define MAXNUM 100 int main() { int i,n,sum(0),max(0); int data[MAXNUM]; while (scanf("%d",&n)!=EOF) { for (i=0; i<n; i++) { scanf("%d",&data[i]); } max=data[0]; for(i=0; i<n; i++) { sum+=data[i]; if(sum<data[i]) { sum=data[i]; } if (sum>max) { max=sum; } } printf("%d\n",max); } return 0; }
2.最长公共子序列
题目描述:若给定序列X={x1,x2,...,xm},则另一序列Z={z1,z2,...,zk}是X的子序列是指存在一个严格递增下表序列{i1,i2,...,ik}使得对于所有j=1,2,...,k有zj=xij。例如,序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列,相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。
当给定两个序列X和Y时,若序列Z即是X的子序列又是Y的子序列时,则
4000
称Z为X和Y的公共子序列。
找出序列X和Y的最长公共子序列。
解析:令c[i,j]表示序列X[1:i]和Y[1:j]中最长公共子序列Z[1:k]的长度,则最优子结构为
若X[i]==Y[j],则Z[1:k-1]为X[1:i-1]和Y[1:j-1]的最长公共子序列
若X[i]!=Y[j]且Z[k]!=X[i],则Z[1:k]为X[1:i-1]和Y[1:j]的最长公共子序列
若X[i]!=Y[j]且Z[k]!=Y[j],则Z[1:k]为X[1:i]和Y[1:j-1]的最长公共子序列
根据最优子结构推出状态转移方程为
c[i,j]=0 if i==0||j==0
c[i,j]=c[i-1,j-1]+1 if i>&&j>0&&X[i]==Y[j]
c[i,j]=max(c[i-1,j],c[i,j-1]) if i>&&j>0&&X[i]!=Y[j]
#include <stdio.h> #include <string.h> #define MAXNUM 100 char s1[MAXNUM]; char s2[MAXNUM]; int num[MAXNUM][MAXNUM]; int vis[MAXNUM][MAXNUM];//用于追溯最长公共子序列 0表示相等,1表示(i-1,j),2表示(i,j-1) void printLcs(int i, int j); int main() { int n;scanf("%d",&n); while (n--) { scanf("%s",s1); scanf("%s",s2); int i,j,len1,len2; len1=strlen(s1); len2=strlen(s2); for (i=0;i<=len1;i++) { num[i][0]=0; } for (j=0;j<=len2;j++) { num[0][j]=0; } for(i=1;i<=len1;i++) { for (j=1;j<=len2;j++) { if (s1[i-1]==s2[j-1]) { num[i][j]=num[i-1][j-1]+1; vis[i][j]=0; } else { num[i][j]=num[i-1][j]>num[i][j-1]?num[i-1][j]:num[i][j-1]; vis[i][j]=num[i-1][j]>num[i][j-1]?1:2; } } } printf("%d\n",num[len1][len2]); printLcs(len1,len2); printf("\n"); } return 0; } void printLcs(int i, int j) { if (i==0) { return; } if (vis[i][j]==0) { printLcs(i-1,j-1); printf(" %c",s1[i-1]); } else if (vis[i][j]==1) { printLcs(i-1,j); } else { printLcs(i,j-1); } }
3.数字三角形
题目描述:给定一个具有N层的数字三角形,从顶至底有多条路径,每一步可沿左斜线向下或右斜线向下,路径所经过多的数字之和为路径得分,求解出最小路径得分。解析:令d[i][j]表示从第n层到第i层的第j个节点的最小路径得分。状态转移方程可以表示为d[i][j]=a[i][j]+max(d[i+1][j],d[i+1][j+1])。
#include <stdio.h> #define MAXNUM 100 int triangleValue[MAXNUM][MAXNUM]; int d[MAXNUM][MAXNUM]; int main() { int n; while (scanf("%d",&n)!=EOF) { int i,j; for (i=1;i<=n;i++) { for (j=1;j<=i;j++) { scanf("%d",&triangleValue[i][j]); } } for (i=1;i<=n;i++) { d [i]=triangleValue [i]; } for (i=n-1;i>=1;i--) { for (j=1;j<=i;j++) { d[i][j]=triangleValue[i][j]+(d[i+1][j]<d[i+1][j+1]?d[i+1][j]:d[i+1][j+1]); } } printf("%d\n",d[1][1]); } return 0; }
4.01背包问题
题目描述:有N件物品和一个重量为M的背包。第i件物品的重量是w[i],价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。分析:对于第i中物品存在着两种决策情况,一是放入背包中,另一中选择则是不放入背包中。令d[i][j]表示在前i种物品放入容量为j的背包中的最大价值,则其状态转移方程可以表示为d[i][j]=max(d[i-1][j],d[i-1][j-w[i]]+v[i])。
#include <stdio.h> #include <string.h> #define MAXNUM 101 int w[MAXNUM]; int v[MAXNUM]; int d[MAXNUM][MAXNUM]; int main() { int n,maxWeight; while (scanf("%d%d",&n,&maxWeight)!=EOF) { int i,j; for (i=1;i<=n;i++) { scanf("%d%d",&w[i],&v[i]); } for (i=0;i<=n;i++) { for (j=0;j<=maxWeight;j++) { d[i][j]=0; } } for (i=1;i<=n;i++) { for (j=0;j<=maxWeight;j++) { if (j>=w[i]) { d[i][j]=d[i-1][j]>(d[i-1][j-w[i]]+v[i])?d[i-1][j]:(d[i-1][j-w[i]]+v[i]); } else d[i][j]=d[i-1][j]; } } printf("%d\n",d [maxWeight]); } return 0; } /* 输入 多组测试数据。 每组测试数据第一行输入,n 和 W ,接下来有n行,每行输入两个数,代表第i个物品的wi 和 vi。 输出 满足题意的最大价值,每组测试数据占一行。 */
5.硬币问题
题目描述:有5种硬币,分别是面值为【50、25、10、5、1】,给定一个总值n,请统计出使用上述五种硬币兑换总值的总兑换方法。解析:对于硬币兑换问题,其总兑换方法次数可以由包括第i中面值硬币的兑换方法次数和不包括第i中硬币的兑换方法次数求和得到。令d[j]表示为总面值为j的兑换方法次数,对有无第i种硬币进行n个阶段的决策,则状态转移方程可以描述为:d[j]=d[j]+d[j-coin[i]]
#define MAXNUM 7500 int d[MAXNUM]; int coin[6]={0,1,5,10,25,50}; int main() { int n; d[0]=1; int i,j; for (i=1;i<MAXNUM;i++) { d[i]=0; } for (i=1;i<=5;i++) { for (j=1;j<MAXNUM;j++) { if (j>=coin[i]) { d[j]+=d[j-coin[i]]; } } } while (scanf("%d",&n)!=EOF) { printf("%d\n",d ); } return 0; }
6.最长递增子序列
题目描述:若给定序列X={x1,x2,...,xm},寻找出子序列X1{xi...xj...}使得i<j,xi<xj成立,且序列X1的元素个数最长。分析:令d[i]表示最后一个元素为第i个元素的最长递增子序列元素个数,则状态转移方程表示为d[i]=max(1,{d[j]+1,(j<i,a[j]<a[i])})
#include <stdio.h> #include <string.h> #define MAXNUM 10001 char str[MAXNUM]; int d[MAXNUM]; int main() { int n; scanf("%d",&n); while (n--) { scanf("%s",str); int len=strlen(str); int i,j; for (i=0;i<len;i++) { d[i]=1; for (j=0;j<i;j++) { if (str[j]<str[i]&&(d[j]+1>d[i])) { d[i]=d[j]+1; } } } int maxNum=0; for (i=0;i<len;i++) { if (d[i]>maxNum) maxNum=d[i]; } printf("%d\n",maxNum); } return 0; } /* 输入 第一行一个整数0<n<20,表示有n个字符串要处理 随后的n行,每行有一个字符串,该字符串的长度不会超过10000 */
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