带负权图的单源最短路径算法：Bellman-Ford算法

算法简介

前面介绍过图的单源最短路径算法Dijkstra算法，然而Dijkstra算法无法判断含负权边的图的最短路。如果遇到负权，在没有负权回路存在时（负权回路的含义是，回路的权值和为负。）即便有负权的边，也可以采用Bellman-Ford算法正确求出最短路径。

Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图G=（V,E），其源点为s，加权函数 w是 边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图G=（V,E），其源点为s，加权函数 w是 边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

适用条件&范围

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
差分约束系统;

算法流程

初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;
迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）
检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

参考代码实现：

此处为有向图的实现，要验证，只需在main()函数下运行test_BellmanFord()函数即可。

#include<iostream>
using namespace std;
const int  MaxEdges= 100;
const int MaxVertex= 20;
const int  MaxWeight= 10000;

struct MyEdge
{
int v1,v2;
int weight;
MyEdge()
{
v1 = -1;
v2 = -1;
weight = MaxWeight;
}
};
struct MyGraph
{
MyEdge edges[MaxEdges];
int NumVertex;
int NumEdges;
};

void createGraph(MyGraph *mg)
{

cout<<"请输入顶点数和边数："<<endl;
cin>>mg->NumVertex >>mg->NumEdges;
cout<<"请依次输入各边权重（v1,v2,weight）:"<<endl;
int v1,v2 ,weight;
for (int j=0;j<mg->NumEdges;j++)
{
cin>>v1>>v2>>weight;
mg->edges[j].v1=v1;
mg->edges[j].v2=v2;
mg->edges[j].weight = weight;
}
}

bool Bellman_ford(MyGraph *mg,int s,int *dis,int *pre)
{
int numV = mg->NumVertex;

for(int i = 0;i<numV;i++) //初始化距离
{
dis[i] = (i==s)? 0:MaxWeight;
pre[i] = -1; //前一个点初始为-1
}
pre[s]=s;
for(int i=1;i<numV;i++)//松弛操作
{
for(int j=0;j<mg->NumEdges;j++)
{
if(dis[mg->edges[j].v2] > dis[mg->edges[j].v1] + mg->edges[j].weight)
{
dis[mg->edges[j].v2] = dis[mg->edges[j].v1] + mg->edges[j].weight;
pre[mg->edges[j].v2] = mg->edges[j].v1;
}
}
}
for(int j=0;j<mg->NumEdges;j++)//判断是否含有负权回路
{
if(dis[mg->edges[j].v2] > dis[mg->edges[j].v1] + mg->edges[j].weight)
return false;
}
return true;
}

void print_path( int j,int *pre)
{
while(pre[j]!=-1 && pre[j]!= j)
{
cout<<j<<"-->";
j=pre[j];
}
if(j ==pre[j])
cout<<j;

}

void test_BellmanFord()
{
int dis[MaxVertex];//
int pre[MaxVertex];
MyGraph MG;
createGraph(&MG);

cout<<"输入Bellman_ford算法的起点：";
int start;
cin>>start;
if(Bellman_ford(&MG,start,dis,pre))
{
for(int j=0;j<MG.NumVertex;j++)
{
cout<<"到点"<<j <<"的最短路径："<<dis[j]<<endl;
cout<<"路径：";
print_path(j,pre);
cout<<endl;
}
}
else
cout<<"存在负权环，算法无法实行！"<<endl;
}

运行结果样例：