矩阵翻硬币 蓝桥杯

题目：

　 小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。

　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

输入格式

　　 输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。

输出格式

　　 输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

样例输入

2 3

样例输出

1

数据规模和约定

　　 对于10%的数据，n、m <= 10^3；

　　 对于20%的数据，n、m <= 10^7；

　　 对于40%的数据，n、m <= 10^15；

　　 对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

题目的意思很清楚。小M提供了一种算法，这里演示一下 n = 2, m = 3矩阵的翻硬币过程(1 表示 正面， 0 表示 反面)

1	1	1
1	1	1

-->(x , y) = (1 , 1) x的倍数行,y的倍数列要翻转

0	0	0
0	0	0

-->(x , y) = (1 , 2)

x的倍数行,y的倍数列要翻转

0	1	0
0	1	0

-->(x , y) = (1 , 3)

0	1	1
0	1	1

-->(x , y) = (2 , 1)

0	1	1
1	0	0

-->(x , y) = (2 , 2)

0	1	1
1	1	0

-->(x , y) = (2 , 3)

0	1	1
1	1	1

这种方法很麻烦，小数据还能应付，像题目中要求有1000位数，根本不可能，所以有必要另避蹊径。从简单到复杂，慢慢分析，看有什么规律：

先看 n = 1 的情况：对于(1 , m),只要看它翻转的次数奇偶就能确定它最终的状态。因为 x = 1， 每次第一行都要参与翻转，当 y 能整除 m 的时候，(1 , m)会翻转，(1 , m)全过程翻转的次数取决于 m 的约数个数，1 的约数个数为1 ， 3 的约数个数为2， 5 的约数个数为2， 9 的约数个数为3。当 m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 其约数个数为奇数，否则 其约数个数为偶数。 因为一般数约数都是成对出现，而一个数的平方数，有两个约数相等。

所以，最后(1 , m) m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 最终状态为0，其他则为1。

而最后0的个数总和 count = sqrt(m) , 取整。

再来看一般情况：(n , m)最后状态是什么？现在行的变化也是它翻转的因素。从上面容易推出，当m确定后，他的翻转次数为 n 的约数个数。而(n , m)翻转的次数 = (n的约数个数 * m的约数个数)。刚才分析了，只有在(n , m)翻转的次数为奇数时 它的最终状态为 0。而只有 奇数*奇数 = 奇数，所以n ,m的约数个数必须为奇数，即： n = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 且 m = j^2 (j = 1 ,2 ,3···)。

最后得出结论：

对于n行m列矩阵，经过
Q 操作后 反面的次数 count = sqrt(n) * sqrt(m) ,(取整后再相乘)。

终于是找到了公式，可是又有了新的难题，怎么对1000位数开方呢？这里先给出定理：

假设位数为len的整数，开方取整后为一个lenSqrt位数。

当len为偶数，lenSqrt = len / 2 .

当len为奇数，lenSqrt = (len / 2) + 1 .

证明很简单，这里就不证了。

现在就简单了，位数确定了从高位到低位一位一位地确定。比如：sqrt(1028) ，表示对1028开方取整

它开方取整后两位数.先看第一位：

取 0， 00 * 00 < 1028 所以sqrt(1028) > 00

取 1， 10 * 10 < 1028 所以sqrt(1028) > 10

取 2， 20 * 20 < 1028 所以sqrt(1028) > 20

取 3， 30 * 30 < 1028 所以sqrt(1028) > 30

取 4， 40 * 40 > 1028 所以sqrt(1028) < 40 , 所以第一位取 3 。

第二位：

取 0, 30 * 30 < 1028 所以sqrt(1028) > 30

取 1, 31 * 31 < 1028 所以sqrt(1028) > 31

取 2, 32 * 32 < 1028 所以sqrt(1028) > 32

取 3, 33 * 33 > 1028 所以sqrt(1028) < 33 , 所以sqrt(1028) = 32 。

大数是一样的道理，只不过大数用字符串保存，字符串相乘也要自己来实现。

下面给出已经在蓝桥杯官网通过的 C++ code：由于实现的很仓促，所以没有做太大的优化。

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

//两个字符串相乘
string strMultiply(string str1 , string str2)
{
string strResult = "";
int len1 = str1.length();
int len2 = str2.length();
int num[500] = {0};
int i = 0, j = 0;
for(i = 0; i < len1; i++)
{
for(j = 0; j < len2; j++)
{
num[len1-1 - i + len2-1 - j] += (str1[i] - '0')*(str2[j] - '0');
}
}

for(i = 0; i < len1 + len2; i++)
{
num[i+1] += num[i] / 10;

num[i] = num[i] % 10;
}

for(i = len1 + len2 - 1; i >= 0 ; i--)
{
if(0 != num[i]) break;
}

for(j = i; j >= 0; j--)
{
strResult += num[j] + '0';
}
return strResult;
}

//str1 * 10^pos后(即在str1后添上pos个0)，与str2作比较
int compare(string str1, string str2, int pos)
{
int len1 = str1.length();
int len2 = str2.length();
if(len2 > len1+pos) return 0;
if(len2 < len1+pos) return 1;
int i = 0;
for(i = 0; i < len2; i++)
{
if(str1[i]-'0' > str2[i]-'0') return 1;
if(str1[i]-'0' < str2[i]-'0') return 0;
}
return 0;
}

//对大数str开方取整
string sqrtLarge(string str)
{
int len = str.length();
int i = 0;
int j = 0;
string strResult = "";
string str1 = "";
if(0 == len % 2)
{         //为偶数位
for(i = 0; i < len/2; i++)
{
for(j = 0; j < 10; j++)
{
str1 = strResult;
str1 += j + '0';
if(1 == compare(strMultiply(str1, str1) , str , 2*(len/2-i-1)) )
{         //由于str1后少了len/2-i-1个0，所以平方以后少了2*(len/2-i-1)个
strResult +=  j-1 + '0';
break;
}
if(9 == j) strResult += '9';
}
}
}
else
{       //为奇数位
for(i = 0; i < len/2+1; i++)
{
for(j = 0; j < 10; j++)
{
str1 = strResult;
str1 += j + '0';
if(1 == compare(strMultiply(str1, str1) , str , 2*(len/2-i)) )
{
strResult +=  j-1 + '0';
break;
}
if(9 == j) strResult += '9';
}
}
}
return strResult;
}
int main()
{
string str1;
string str2;
string strResult;
cin>>str1>>str2;

cout<<strMultiply(sqrtLarge(str1) , sqrtLarge(str2))<<endl;

return 0;
}