2-sat问题，输出方案，几种方法（赵爽的论文染色解法+其完全改进版）浅析 / POJ3683

本文原创于 2014-02-12 09:26。 今复习之用，有新体会，故重新编辑。

2014-02-12 09:26：

2-sat之第二斩！昨天看了半天论文（赵爽的和俉昱的），终于看明白了！好激动有木有！终于理解了赵爽的每一句话！并且用了200+行代码实现，A了！具体过程我是敲了帮天的代码啊！！！不容易啊！步骤如下：

把相关问题编号为01 23 45....，（每个编号为一个命题）奇数为取，偶数不取，那么相邻俩个互逆，于是根据具体情况（check）一下,建立图，tarjan判断有无解，然后顺便再缩点，重新建图（逆图），在对新图拓扑，仔细阅读下面赵爽的话：理解每一句：

如果没有产生矛盾，我们就可以把处在同一个强连通分量中的点和边缩成一个点，得到

新的有向图G。然后，我们把G中的所有弧反向，得到图G ′ ′ ′′。

现在我们观察 。由于已经进行了缩点的操作，因此 G′′ G′′中一定不存在圈，也就是说，

具有拓扑结构。 G′′

我们把G中所有顶点置为“未着色”。按照拓扑顺序重复下面的操作： ′′ 是啊，先对新图（逆的）拓扑，保存起来，然后开始染色，对每个染成“不选”的还要对其子孙也不选 择，（再次dfs。。。无奈），废了半天啊！！！！下面第一段代码便是！！

1、 选择第一个未着色的顶点x。把x染成红色。

2、 把所有与x矛盾的顶点 （如果存在bb yjjB ¬ ∈ ，且b属于 j

x代表的强连

通分量， j

b ¬ 属于 代表的强连通分量，那么 y x和 就是互相矛盾的顶点）

及其子孙全部全部染成蓝色。

y

3、 重复操作1和2，直到不存在未着色的点为止。此时，G′′中被染成红色的

点在图G中对应的顶点集合，就对应着该2-SAT的一组解。

后来在大牛交流中，发现无需拓扑啊！白痴啊！尽在眼前还去自己写什么？？！！了解到：每个强连通分量都是在它的所有后继强连通分量被求出之后求得的。因此，如果将同一强连通分量收缩为一个结点而构成一个有向无环图，这些强连通分量被求出的顺序是这一新图的逆拓扑序！！！！

不用再次新图拓扑啊！！！何必多此一举！于是来了第二个代码！！

还没完？？？的确，染色？大牛证明了（现在证明看来也很容易的），无须如此！直接tarjan即可！详见代码三！！又简单了许多啊！从此，2-sat输出方案，哦？不用怕！！！！so easy!

继续刷几题，练练新剑！

今//三种代码：一次比一次简单，第一次完全按论文进行模拟的，比较繁琐，但是思路清晰，包括俩次建图+拓扑+染色+tarjan+dfs,

建图是关键，每次添加的边要互为假言易位式（一对），最后一种方法最妙，以后都用这样的方法，简单又快捷；

该题题意：某一天结婚的人特别多但是主持婚礼的神父只有一个。婚礼时间从s开始到e结束，神父必须在s到s+d或者e-d到e这段时间内在。给定了n个婚礼的s，e，d，求一种方案能使得神父主持所有的婚礼。

思路：建图简单，数据处理一下，按编号保存，之后：遍历点，取矛盾的点添加假言易位边，缩点（同一个SCC中必然可以互推）来判断有无解，输出方案的话，只需新图（不必真的建）,每次取逆拓扑小的（scc[i]小的命题即可）（反证即可）。

#include<iostream>  //5340K	360MS
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<stack>
#include<cmath>
using namespace std;
int n;const int MAX=2001;
struct points      //点，01,23,45.。。相连为一对，x^1取对应点（改变奇偶性）
{
int from,end;
};
points  point[MAX];
int low[MAX];int dfn[MAX];int visited[MAX];bool is_instack[MAX];stack<int>s;
int times=0; int scc[MAX]; int numblock;
int indgree[MAX]; int tuopoxuliu[MAX]; int color[MAX];  //入度，tuopo序列，染色
vector<int>ans(MAX);              //最终答案
vector<vector<int> >edges(MAX);  //原图
vector<vector<int> >newgraph(MAX); //新图
vector<vector<int> >SCC(MAX);       //保存SCC【i】含有的点
void initialize()
{
numblock=times=0;
for(int i=0;i<2*n;i++)
{
tuopoxuliu[i]=color[i]=visited[i]=low[i]=dfn[i]=is_instack[i]=0;
edges[i].clear();
scc[i]=-1;
}
}
void tarjan(int u)    //有向图dfs，这个不解释
{
low[u]=dfn[u]=++times;
is_instack[u]=1;
s.push(u);
int len=edges[u].size();
for(int i=0;i<len;i++)
{
int v=edges[u][i];
if(visited[v]==0)
{
visited[v]=1;
tarjan(v);
if(low[u]>low[v])low[u]=low[v];
}
else if(is_instack[v]&&dfn[v]<low[u])
{
low[u]=dfn[v];
}
}
if(dfn[u]==low[u])
{
numblock++;
int cur;
do
{
cur=s.top();
is_instack[cur]=0;
s.pop();
scc[cur]=numblock;
SCC[numblock].push_back(cur);     //每个SCC对应哪些点保存起来
}while(cur!=u);
}
}
bool agst(points a,points b)    //判断矛盾的点
{
if(a.from<=b.from&&a.end>b.from)     //注意==号的判定！别因为这个跪了！
return true;
if(b.from<=a.from&&b.end>a.from)
return true;
return false;
}
bool build_graph_has_solution()           //建图
{
initialize();
for(int i=0;i<2*n;i++)
for(int j=i+1;j<2*n;j++)
{
if(((i>>1)!=(j>>1))&&agst(point[i],point[j]))     //有时间冲突
{
if(agst(point[i],point[j^1]))    //和另一个也矛盾，那么i不能选(用A->非A表示)
edges[i].push_back(i^1);
else
{
edges[i].push_back(j^1);              //那么选你没我
edges[j].push_back(i^1);
}
}
}
for(int i=0;i<2*n;i++)
{
if(visited[i]==0)
{
visited[i]=1;
tarjan(i);
}
}
for(int i=0;i<2*n;i+=2)
{
if(scc[i]==scc[i+1])   //矛盾的点在一个SCC中，
{
printf("NO\n");
return false;
}
}
return true;
}
void tuopu()              //新图拓扑，记录拓扑序列（1-numblock）保存之
{
stack<int>sta;
int count=1;
for(int i=1;i<=numblock;i++)    //入度点0点
if(indgree[i]==0)
sta.push(i);
while(!sta.empty())
{
int cur=sta.top();
sta.pop();
tuopoxuliu[count++]=cur;
int len4=newgraph[cur].size();     //新图，其孩子入度--
for(int i=0;i<len4;i++)
{
indgree[newgraph[cur][i]]--;
if(indgree[newgraph[cur][i]]==0)
sta.push(newgraph[cur][i]);
}
}
}
void dfs_unchoose(int u)        //u及其子孙都不选
{
int len5=newgraph[u].size();
for(int i=0;i<len5;i++)
{
int v=newgraph[u][i];
if(color[v]!=2)
{
color[v]=2;
dfs_unchoose(v);
}
}
}
void solve()
{
for(int i=0;i<2*n;i++)              //建立新图（逆图，有向无环）
{
int len=edges[i].size();
for(int j=0;j<len;j++)
{
int v=edges[i][j];
bool mark=0;
if(scc[i]!=scc[v])         //是新图的边      //注意下面哪些是SCC[]
{
int len2=newgraph[scc[v]].size();       //删去新图重边（要判断入度）
for(int k=0;k<len2;k++)
{
if(newgraph[scc[v]][k]==scc[i]){mark=1;break;}
}
if(mark)continue;
newgraph[scc[v]].push_back(scc[i]);        //逆图
indgree[scc[i]]++;
}
}
}
tuopu();
for(int i=1;i<=numblock;i++)         //开始染色，
{
int cur=tuopoxuliu[i];
if(color[cur]==0)                 //0未染色
{
color[cur]=1;                  //标记选择
int len3=SCC[cur].size();      //SCC中，
for(int j=0;j<len3;j++)
{
color[scc[SCC[cur][j]^1]]=2;       //这些点矛盾的点所在的SCC标记为2（不选）.
dfs_unchoose(scc[((SCC[cur][j])^1)]);  //其子孙也不选
}
}
}                                       //染色完毕
for(int i=1;i<=numblock;i++)          //统计ans
{
if(color[i]==1)                   //在同一个SCC中全要
{
int len6=SCC[i].size();
for(int j=0;j<len6;j++)
{
ans[SCC[i][j]/2]=SCC[i][j];
}
}
}
printf("YES\n");
for(int i=0;i<n;i++)
{
int hour=point[ans[i]].from/60;int miu=point[ans[i]].from%60;
printf("%02d:%02d ",hour,miu);
hour=point[ans[i]].end/60; miu=point[ans[i]].end%60;
printf("%02d:%02d\n",hour,miu);
}
}
void readin()
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
int a1,b1,a2,b2,d;char c;
scanf("%d%c%d",&a1,&c,&b1); scanf("%d%c%d",&a2,&c,&b2); scanf("%d",&d);
point[i*2].from=a1*60+b1;      point[i*2].end=a1*60+b1+d;
point[i*2+1].from=a2*60+b2-d;  point[i*2+1].end=a2*60+b2;
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
readin();
if( build_graph_has_solution())
solve();
}

.

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<stack>
#include<cmath>
using namespace std;
int n;const int MAX=2001;
struct points      //点，01,23,45.。。相连为一对，x^1取对应点（改变奇偶性）
{
int from,end;
};
points  point[MAX];
int low[MAX];int dfn[MAX];int visited[MAX];bool is_instack[MAX];stack<int>s;
int times=0; int scc[MAX]; int numblock;
int color[MAX];                  //染色
vector<int>ans(MAX);              //最终答案
vector<vector<int> >edges(MAX);  //原图
vector<vector<int> >newgraph(MAX); //新图
vector<vector<int> >SCC(MAX);       //保存SCC【i】含有的点
void initialize()
{
numblock=times=0;
for(int i=0;i<2*n;i++)
{
color[i]=visited[i]=low[i]=dfn[i]=is_instack[i]=0;
edges[i].clear();
scc[i]=-1;
}
}
void tarjan(int u)           //有向图dfs，这个不解释
{
low[u]=dfn[u]=++times;
is_instack[u]=1;
s.push(u);
int len=edges[u].size();
for(int i=0;i<len;i++)
{
int v=edges[u][i];
if(visited[v]==0)
{
visited[v]=1;
tarjan(v);
if(low[u]>low[v])low[u]=low[v];
}
else if(is_instack[v]&&dfn[v]<low[u])
{
low[u]=dfn[v];
}
}
if(dfn[u]==low[u])
{
numblock++;
int cur;
do
{
cur=s.top();
is_instack[cur]=0;
s.pop();
scc[cur]=numblock;
SCC[numblock].push_back(cur);     //每个SCC对应哪些点保存起来
}while(cur!=u);
}
}
bool agst(points a,points b)    //判断矛盾的点
{
if(a.from<=b.from&&a.end>b.from)     //注意==号的判定！别因为这个跪了！
return true;
if(b.from<=a.from&&b.end>a.from)
return true;
return false;
}
bool build_graph_has_solution()           //建图
{
initialize();
for(int i=0;i<2*n;i++)
for(int j=i+1;j<2*n;j++)
{
if(((i>>1)!=(j>>1))&&agst(point[i],point[j]))     //有时间冲突
{
if(agst(point[i],point[j^1]))    //和另一个也矛盾，那么i不能选(用A->非A表示)
edges[i].push_back(i^1);
else
{
edges[i].push_back(j^1);              //那么选你没我
edges[j].push_back(i^1);
}
}
}
for(int i=0;i<2*n;i++)
{
if(visited[i]==0)
{
visited[i]=1;
tarjan(i);
}
}
for(int i=0;i<2*n;i+=2)
{
if(scc[i]==scc[i+1])   //矛盾的点在一个SCC中，
{
printf("NO\n");
return false;
}
}
return true;
}
void dfs_unchoose(int u)        //u及其子孙都不选
{
int len5=newgraph[u].size();
for(int i=0;i<len5;i++)
{
int v=newgraph[u][i];
if(color[v]!=2)
{
color[v]=2;
dfs_unchoose(v);
}
}
}
void solve()
{
for(int i=0;i<2*n;i++)              //建立新图（逆图，有向无环）
{
int len=edges[i].size();
for(int j=0;j<len;j++)
{
int v=edges[i][j];
bool mark=0;
if(scc[i]!=scc[v])         //是新图的边      //注意下面哪些是SCC[]
{
int len2=newgraph[scc[v]].size();       //删去新图重边（要判断入度）
for(int k=0;k<len2;k++)
{
if(newgraph[scc[v]][k]==scc[i]){mark=1;break;}
}
if(mark)continue;
newgraph[scc[v]].push_back(scc[i]);        //逆图
}
}
}
for(int i=1;i<=numblock;i++)         //开始染色，
{
int cur=i;
if(color[cur]==0)                 //0未染色
{
color[cur]=1;                  //标记选择
int len3=SCC[cur].size();      //SCC中，
for(int j=0;j<len3;j++)
{
color[scc[SCC[cur][j]^1]]=2;       //这些点矛盾的点所在的SCC标记为2（不选）.
dfs_unchoose(scc[((SCC[cur][j])^1)]);  //其子孙也不选
}
}
}                                       //染色完毕
for(int i=1;i<=numblock;i++)          //统计ans
{
cout<<i<<": "<<endl;

int len6=SCC[i].size();
for(int j=0;j<len6;j++)
{
cout<<SCC[i][j]<<" ";
cout<<endl;
if(color[i]==1)                   //在同一个SCC中全要
{
cout<<"get:";cout<<SCC[i][j]<<endl;
ans[SCC[i][j]/2]=SCC[i][j];
}
}

}
printf("YES\n");
for(int i=0;i<n;i++)
{
int hour=point[ans[i]].from/60;int miu=point[ans[i]].from%60;
printf("%02d:%02d ",hour,miu);
hour=point[ans[i]].end/60; miu=point[ans[i]].end%60;
printf("%02d:%02d\n",hour,miu);
}
}
void readin()
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
int a1,b1,a2,b2,d;char c;
scanf("%d%c%d",&a1,&c,&b1); scanf("%d%c%d",&a2,&c,&b2); scanf("%d",&d);
point[i*2].from=a1*60+b1;      point[i*2].end=a1*60+b1+d;
point[i*2+1].from=a2*60+b2-d;  point[i*2+1].end=a2*60+b2;
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
readin();
if( build_graph_has_solution())
solve();
}

#include<iostream>  //无需自己拓扑！无需染色！无需重新建图！屌！以后不用怕了！直接秒杀！
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<stack>
#include<cmath>
using namespace std;
int n;const int MAX=2001;
struct points      //点，01,23,45.。。相连为一对，x^1取对应点（改变奇偶性）
{
int from,end;
};
points  point[MAX];
int low[MAX];int dfn[MAX];int visited[MAX];bool is_instack[MAX];stack<int>s;
int times=0; int scc[MAX]; int numblock;
vector<int>ans(MAX);               //最终答案
vector<vector<int> >edges(MAX);   //原图
void initialize()
{
numblock=times=0;
for(int i=0;i<2*n;i++)
{
visited[i]=low[i]=dfn[i]=is_instack[i]=0;
edges[i].clear();
scc[i]=-1;
}
}
void tarjan(int u)           //有向图dfs，这个不解释
{
low[u]=dfn[u]=++times;
is_instack[u]=1;
s.push(u);
int len=edges[u].size();
for(int i=0;i<len;i++)
{
int v=edges[u][i];
if(visited[v]==0)
{
visited[v]=1;
tarjan(v);
if(low[u]>low[v])low[u]=low[v];
}
else if(is_instack[v]&&dfn[v]<low[u])
{
low[u]=dfn[v];
}
}
if(dfn[u]==low[u])
{
int cur; numblock++;
do
{
cur=s.top();
is_instack[cur]=0;
s.pop();
scc[cur]=numblock;
}while(cur!=u);
}
}
bool agst(points a,points b)    //判断矛盾的点
{
if(a.from<=b.from&&a.end>b.from)     //注意==号的判定！别因为这个跪了！
return true;
if(b.from<=a.from&&b.end>a.from)
return true;
return false;
}
bool build_graph_has_solution()           //建图
{
initialize();
for(int i=0;i<2*n;i++)
for(int j=i+1;j<2*n;j++)
{
if(((i>>1)!=(j>>1))&&agst(point[i],point[j]))     //有时间冲突
{
if(agst(point[i],point[j^1]))    //和另一个也矛盾，那么i不能选(用A->非A表示)
edges[i].push_back(i^1);
else
{
edges[i].push_back(j^1);              //那么选你没我
edges[j].push_back(i^1);
}
}
}
for(int i=0;i<2*n;i++)
{
if(visited[i]==0)
{
visited[i]=1;
tarjan(i);
}
}
for(int i=0;i<2*n;i+=2)
{
if(scc[i]==scc[i+1])        //矛盾的点在一个SCC中，
{
printf("NO\n");
return false;
}
}
return true;
}
void solve()
{
for(int i=0;i<2*n;i+=2)          //统计ans
{
if(scc[i]<scc[i+1])              //关键！！这样选择！！
ans[i/2]=i;
else
ans[i/2]=i+1;
}
printf("YES\n");
for(int i=0;i<n;i++)              //还原
{
int hour=point[ans[i]].from/60;int miu=point[ans[i]].from%60;
printf("%02d:%02d ",hour,miu);
hour=point[ans[i]].end/60; miu=point[ans[i]].end%60;
printf("%02d:%02d\n",hour,miu);
}
}
void readin()
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
int a1,b1,a2,b2,d;char c;
scanf("%d%c%d",&a1,&c,&b1); scanf("%d%c%d",&a2,&c,&b2); scanf("%d",&d);
point[i*2].from=a1*60+b1;      point[i*2].end=a1*60+b1+d;
point[i*2+1].from=a2*60+b2-d;  point[i*2+1].end=a2*60+b2;
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
readin();
if( build_graph_has_solution())
solve();
}