【甘道夫】Mapreduce实现矩阵乘法的算法思路

大数据计算中经常会遇到矩阵乘法计算问题，所以Mapreduce实现矩阵乘法是重要的基础知识，下文我尽量用通俗的语言描述该算法。

1.首先回顾矩阵乘法基础

矩阵A和B可以相乘的前提是，A的列数和B的行数相同，因为乘法结果的矩阵C中每一个元素Cij，是A的第i行和B的第j列做点积运算的结果，参见下图：



2.进入正题

在了解了矩阵乘法规则后，我们打算采用分布式计算模型Mapreduce来完成这一过程。

MR过程是在Hadoop集群的多台机器上同时进行的，所以能MR化的计算必须是没有前后关系、相互独立的过程。通过分析上述矩阵乘法过程我们可以发现，其实C矩阵的每一个元素的计算过程都是相互独立的，比如C11和C21的计算不会相互影响，可以同时进行。

所以，我们的目标就转变为：通过MR计算每一个C矩阵元素Cij。

针对以上目标我们进一步分析，Cij其实就是A矩阵的第i行和B矩阵的第j列的点积，所以我们只要能最终将参与计算Cij的所有元素（A矩阵的第i行和B矩阵的第j列）都归到一组来参与计算就能算出Cij。这个所谓的“归到一组”，结合MR模型和矩阵乘法规则，其实就是Map将这些元素输出为相同的Key---C矩阵中元素的坐标，然后通过Shuffle就能把所有相同Key的元素输入到Reduce中，由Reduce来进行点积运算，得出该C元素最终的值。

OK，上面的思路都看明白后，我们回到输入数据，即A和B两个矩阵，我们只需要将矩阵中的每个元素处理一下（该过程需要在Map中进行），根据每一个元素即将参与哪些Cij的计算，为每一个元素打上（i，j）坐标即可，这样最终这些元素就会被shuffle到目标Cij的计算数据源分组中。

具体举例，A12，会参与到C11，C12的计算中；B22会参与到C12，C22的计算中。所以，我们从A和B的元素坐标，就完全可以得知它们即将参与计算的C元素的坐标。注意，这里是一对多的，每个A或者B的元素都会参与多个C元素的计算，如果不明白请再看第一遍矩阵乘法规则。

通过以上的分析，对于一个i行j列的A矩阵，和j行k列的B矩阵乘法:

我们将每个Aij元素处理为如下格式：

key=i,n(n=1,2,3...k) value='a','j',aij

我们将每个Bjk处理为如下格式：

key= m,k(m=1,2,3...i) value='b',

上面这个格式可能很多人看得痛苦，我就再唠叨两句，拿A12来举例，参见下图：



A12最终会参与C11，C12的计算，所以我们处理A12时需将其处理为两个{key，value}对：

{（1,1），（'a' , 2 , 2）} /* (1,1)是A12将参与计算的C11的坐标；'a'代表该数据来自A矩阵，因为A和B需要相乘，所以需要做一个标志位；头一个2代表这是计算C11时对应A向量的坐标，因为要知道A向量的第几个元素和B向量的第几个元素相乘；最后一个2就是当前元素的值 */

{（1,2），（'a' , 2 , 2）} /* 参考以上描述 */

这么解释都看不懂，就自己面壁去哈！

OK，Map过程结束，所有参与Cij的的A、B元素都shuffle到同一个Reduce了，Reduce的算法思路就简单了，通过标志位区分数据来源（A或B）创建数组，然后两个数组做点积即可。

实现代码参见：【甘道夫】MapReduce实现矩阵乘法