SG函数模板

资料转载：http://blog.csdn.net/fobdddf/article/details/21299433

 

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g（x）即sg[x]

例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1，3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

sg[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;

x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；

x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;

x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；

以此类推.....

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....

sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....

计算从1-n范围内的SG值。

f(存储可以走的步数，f[0]表示可以有多少种走法)

f[]需要从小到大排序，这个模版f是从1开始的。hash数组大小跟f[]大小差不多

1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);

 2.可选步数为任意步，SG(x) = x;

3.可选步数为一系列不连续的数，用GetSG()计算

 

//f[]：可以取走的石子个数
//sg[]:0~n的SG函数值
//hash[]:mex{}
int f
,sg
,hash
;
void getSG(int n)
{
int i,j;
memset(sg,0,sizeof(sg));
for(i=1;i<=n;i++)
{
memset(hash,0,sizeof(hash));
for(j=1;f[j]<=i;j++)
hash[sg[i-f[j]]]=1;
for(j=0;j<=n;j++)    //求mes{}中未出现的最小的非负整数
{
if(hash[j]==0)
{
sg[i]=j;
break;
}
}
}
}

转自：http://www.cnblogs.com/gongxijun/p/3297683.html

 

下边补充一点东西。

上边那个模版求hash时候并没有考虑f[j]有效长度，在某些题目中可以通过，比如这个。因为在求斐波那契数列时候肯定多求了一个，而就是因为这个会在求hash时候打破循环。

其实总的来说还是这个函数并不严密。因为有的时候f[]是有有效长度的，如果多出了这个长度就会出现错误，如果你的初值都是0，那么就会取到0，如果是-1，那么就会取到-1，肯定不对。比如这个题。

下面这两个模版应该就比较严密了，这个里边的f[]是从零开始的。转自：http://blog.csdn.net/primoblog/article/details/13376057

1、sg打表

 

//f[]：可以取走的石子个数
//sg[]:0~n的SG函数值
//hash[]:mex{}
int f[K],sg
,hash
;
void getSG(int n)
{
memset(sg,0,sizeof(sg));
for(int i=1; i<=n; i++) {
memset(hash,0,sizeof(hash));
for(int j=0; f[j]<=i && j < k; j++) //k是f[]的有效长度
hash[sg[i-f[j]]]=1;
for(int j=0; ; j++) {   //求mes{}中未出现的最小的非负整数
if(hash[j]==0) {
sg[i]=j;
break;
}
}
}
}

 2、dfs

 

//注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
//n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组
int s
,sg
,n;
int getSG(int x)
{
if(sg[x]!=-1)
return sg[x];
bool vis[M];
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=0; i<n; i++) {
if(x>=s[i])
vis[getSG(x-s[i])]=1;
}
for(i=0;; i++)
if(!vis[i]) {
sg[x]=i;
break;
}
return sg[x];
}