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动态大系统方法导论（三）-动态系统的输入输出可达性及结构矩阵的一般秩

2014-05-07 07:32 435 查看

2.5.2 动态系统的输入输出可达性及结构矩阵的一般秩

1.动态系统的结构化描述

动态系统：有微分方程描述。考虑因果关系

$u \to x \to y$

例：

$\begin{array}{l}{{\dot x}_1} = {f_1}\left( {{x_3},{x_4},{u_1}} \right)\\{{\dot x}_2} = {f_2}\left( {{x_3},{x_5},{u_3},{u_4}} \right)\\{{\dot x}_3} = {f_3}\left( {{x_3},{x_4},{u_4}} \right)\\{{\dot x}_4} = {f_4}\left( {{x_3},{x_4},{u_1},{u_2}} \right)\\{{\dot x}_5} = {f_5}\left( {{x_3},{u_1},{u_4}} \right)\end{array}$

网络如图1所示。

图1
线性化以后得：

$\begin{array}{l}{{\dot x}_i} = \sum\limits_{j = 1}^5 {\frac{{\partial {f_i}}}{{\partial {x_j}}}\left| {\mathop {{x_j}}\limits_{\left( {x,u} \right)} } \right. + } \sum\limits_{k = 1}^4 {\frac{{\partial {f_i}}}{{\partial {u_k}}}\left| {\mathop {{u_k}}\limits_{\left( {x,u} \right)} } \right.} \\i = 1,2,3,4,5\\\dot x = Ax + Bu\end{array}$

如图2所示，A、B邻接矩阵中的非零元素表示行节点受到列节点的影响。

图2

邻接矩阵如图3所示。

图3

2邻接矩阵与可达矩阵

考虑一线性定常系统

$\begin{array}{l}\dot x\left( t \right) = Ax\left( t \right) + Bu\left( t \right)\\y\left( t \right) = Cx\left( t \right)\end{array}$

把数学描述A、B、C中的恒为0的元素记为0，将非零元素记为叉，则得到了对应的结构描述：

$\bar A$
、
$\bar B$
、
$\bar C$

以分块组合的形式来表示，就能得到系统的邻接矩阵，如图4所示。

图4

其中

$\begin{array}{l}x \in {R^n},u \in {R^m},y \in {R^r}\\n + m + r = N\end{array}$

可以看到，邻接矩阵中的结构化矩阵都是转置的，其实将矩阵写开就能发现原因：

分块矩阵和其中的小元素
${\bar a_{ij}} = \times$
都需要满足邻接矩阵的定义脚标ij，代表的时候j对i的影响。为了调和两者的矛盾，因此必须转置。

3．输入输出可达性判断

可达矩阵为

$R = {\left( {{A_a}UI} \right)^{N - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{R_{xx}}}&{{R_{xu}}}&{{R_{xy}}}\\{{R_{ux}}}&{{R_{uu}}}&{{R_{uy}}}\\{{R_{yx}}}&{{R_{yu}}}&{{R_{yy}}}\end{array}} \right]{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{{\bar A}^T} + I} \right)}^{N - 1}}}&O&{{{\left( {{{\bar A}^T} + I} \right)}^{N - 2}}{{\bar C}^T}}\\{{{\bar B}^T}{{\left( {{{\bar A}^T} + I} \right)}^{N - 2}}}&I&{{{\bar B}^T}{{\left( {{{\bar A}^T} + I} \right)}^{N - 3}}{{\bar C}^T}}\\O&O&I\end{array}} \right]$

其中
${R_{xy}}$
为输出可达矩阵，
${R_{ux}}$
为输入可达矩阵。

对于上例，输出方程为

$\begin{array}{l}{y_1} = {y_1}\left( {{x_3},{x_4}} \right)\\{y_2} = {y_2}\left( {{x_5}} \right)\\y = Cx\\\bar C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\bigcirc &\bigcirc & \times & \times &\bigcirc \\\bigcirc &\bigcirc &\bigcirc &\bigcirc & \times \end{array}} \right]\end{array}$

圈圈叉叉实在懒得打字了，就拍下来好了，其输入、输出可达矩阵如图5所示。

图5

可见该系统输入可达，输出不可达，因为其输出可达矩阵不满足行满秩。

4.结构矩阵的一般秩（generic rank）

就是结构矩阵对应的数值矩阵所能取得的最大秩。

$gr\left( {\bar S} \right) = \max \left( {rank\left( S \right)} \right)$

至于其解析算法请参看：

Johnston R D, Barton G W, Brisk M L. Determination of the generic rank of structural matrices[J]. International Journal of Control, 1984, 40(2): 257-264.

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标签： 网络结构大系统矩阵可达性

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