Bhattacharyya 距离（附matlab代码）

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Bhattacharyya距离

在统计学中，Bhattacharyya距离（以下称巴氏距离）测量的是两个离散或连续概率分布的相似性。计算方式和Bhattacharyya系数关系很密切。两种计算方式都以A. Bhattacharyya名字命名，Bhattacharyya是一位30年代在印度统计研究所工作的统计学家。巴氏系数可用来对两组样本的相关性进行测量。这一方法常用来作分类器算法。[1]

数学定义

-离散概率分布

　　对于在X数域上的两个离散概率分布p和q，巴氏距离定义为[2]：

　　DB(p,q) = -ln(BC(p,q))

　　其中

　　BC(p,q) = ∑√p(x)q(x)

　　BC被称作Bhattacharyya系数（巴氏系数）

　　0≤BC≤1q且0≤DB≤∞

-连续概率分布

　　在连续情形中，Bhattacharyya系数如下定义：

　　BC(p,q) = ∫√p(x)q(x)dx

　　0≤BC≤1q且0≤DB≤∞

　　两种情形中，巴氏距离DB均不满足三角不等式

Bhattacharyya系数

　　Bhattacharyya系数[3]（Bhattacharyya Coefficient, 巴氏系数）是对两个统计样本的重叠量的近似计算。巴氏系数可用来对两组样本的相关性进行测量。

　　计算巴氏系数涉及到对该两个样本的重叠部分进行基本形式的积分。两个样本值的积分被分成指定数目的部分。而每一个样本的每一个部分的成员数被用于下式中：

　　Bhattacharyya = ∑{i=1|n}√(∑ai·∑bi)

　　其中，a,b为两个样本，n是分块数，ai, bi分别是在a, b中第i部分的成员数。

　　这样一来，这个式子就会随着因某块中有两个样本的公共成员而变大，也会随着某块中有一大片重叠的样本成员而变大。分块数的选定依赖于样本中的成员数量；如果分块太少会因过估了重叠区域而失去精确性，如果分块太多会因为造成空块而失去精确性。

　　如果两个样本完全没有重叠，巴氏系数将会等于0，因为每一个分块都将被0乘。这意味着完全分离的样本不能被巴氏系数单独测定出来。

function d=bhattacharyya(X1,X2)
% BHATTACHARYYA  Bhattacharyya distance between two Gaussian classes
%
% d = bhattacharyya(X1,X2) returns the Bhattacharyya distance between X1 and X2.
%
% Inputs: X1 and X2 are n x m matrices represent two sets which have n
%         samples and m variables.
%
% Output: d is the Bhattacharyya distance between these two sets of data.
%
% Example:
%{
N=100;
M=10;
e1=2;
e2=5;
c1=3;
c2=7;
X1 = c1*randn(N,M)+e1;
X2 = c2*randn(N,M)+e2;
d = bhattacharyya(X1,X2);
%}
% Reference:
% Kailath, T., The Divergence and Bhattacharyya Distance Measures in Signal
% Selection, IEEE Trasnactions on Communication Technology, Vol. 15, No. 1,
% pp. 52-60, 1967
%
% By Yi Cao at Cranfield University on 8th Feb 2008.
%

%Check inputs and output
error(nargchk(2,2,nargin));
error(nargoutchk(0,1,nargout));

[n,m]=size(X1);
% check dimension
% assert(isequal(size(X2),[n m]),'Dimension of X1 and X2 mismatch.');
assert(size(X2,2)==m,'Dimension of X1 and X2 mismatch.');

mu1=mean(X1);
C1=cov(X1);
mu2=mean(X2);
C2=cov(X2);
C=(C1+C2)/2;
dmu=(mu1-mu2)/chol(C);
try
d=0.125*dmu*dmu'+0.5*log(det(C/chol(C1*C2)));
catch
d=0.125*dmu*dmu'+0.5*log(abs(det(C/sqrtm(C1*C2))));
warning('MATLAB:divideByZero','Data are almost linear dependent. The results may not be accurate.');
end
% d=0.125*dmu*dmu'+0.25*log(det((C1+C2)/2)^2/(det(C1)*det(C2)));