回溯算法详解

回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。

回溯方法的步骤如下：

1) 定义一个解空间，它包含问题的解。

2) 用适于搜索的方式组织该空间。

3) 用深度优先法搜索该空间，利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。

以上为框架总结，相信大家随便找都可以找到，现在我们用一个例子来说明回溯的解题过程（含思路和编程步骤）：

Generate Parentheses( leetcode上的题目)：

Given n pairs of parentheses, write a function to generate all combinations of well-formed parentheses.

For example, given n = 3, a solution set is:

"((()))", "(()())", "(())()", "()(())", "()()()"

简便起见，我们来看一下n=2时的思路：

这里要先提一下画括号的一个性质1，也就是要先（，才能），也就是说在求解的一步步的路上，左括号的数量一定是大于等于右括号的。根据这个性质以及n=2，我们可以排除很多不可能的解空间。下图的每一行表示第几个字符是左括号还是右括号，X掉的表示不符合要求的解。

好，现在先来看第一个字符，这里可以填(，也可以填)，所以解空间可以分成第一行1和2两个节点，但是由于我们性质1，所以2节点是不满足要求的，所以我们就不在2节点的解空间进行。然后我们看第二个字符，这时候3和4节点都满足条件，所以我们就可以分成两个更小的解空间，以此类推，每个子节点都是一个解。这里n=2时的答案就是（（））和（）（）。

如果使用穷举法，那么就需要判断2^2n个解是否正确，如果使用回溯的方法，那么会排除掉大部分的非解空间。



这个例子说明的是回溯这种方法通过构图所得的解，但其实编程的时候不是这样进行的，而是先优先选择左括号，直到得到第一个解，然后往回退到前一个含左括号（的节点，然后改成）后继续按我们规则求解，然后再往回退到更前一个左括号（，再求解。也就是说编程的时候不是同时进行解空间的扩展，而是一个个求解的（如1和2节点不是同时期的，而是1节点的解空间计算完之后退到2节点的）。

以上是解题思路说明，接下来对编程的步骤进行分析：

能用回溯来解决的问题一般有以下几个特点：

1、解是多维特征，并且每一维的取值范围都是一样的且有限（括号题目中的取值就是左括号或者右括号，并且每个节点都是这样的取值，这点是最重要的）

2、一般来说，题目要求可能性解的数量，这样子比较可能采用回溯

对题目进行分析概括之后，符合回溯的就可以进行编程了：

1、包含一个保存解的全局变量（用于保存一个解）

2、状态控制的全局变量（用于对当前步骤的进度进行分析，从而排除一些不可能解）

3、编程的过程采用一步步进行，也就是一维一维的进度知道最后每一维都计算完得到一个解；

4、3得到一个符合解之后，往回退，直到某个节点可以选择其他值，重复步骤3；

class Solution {
public:
vector<string> generateParenthesis(int n) {
vector<string> result;
num = n;
str.clear();
for(int i = 0; i < n*2; ++i)
{
str.push_back('0');
}
l = 0;
r = 0;
bt(result, 0);

return result;
}
//全局状态控制变量，l和r分别表示已用左右括号的数量;
int num;
int l;
int r;
//解（全局变量）;
string str;

//迭代回溯函数;
//第一个参数其实是为了保存每一个解，如果只需要打印出来那就不需要这个参数了;
//k表示当前计算的解的前进进度;
void bt(vector<string> &result, int k)
{
//迭代终点，也就是得到了一个新解;
if(k == num*2)
{
result.push_back(str);
}
//解的计算未到终点，继续进度;
else
{
//先进行尝试性填充左括号来求解;
if(l < num)
{
str[k] = '(';
l++;
bt(result, k+1);
//////!!!这一步是必须的，恢复到上一节点，选择其他，这样子才能达到回溯的目的！;
--l;
}
//填充右括号;
if(r < num && l > r)
{
str[k] = ')';
r++;
bt(result, k+1);
--r;
}//到这里有隐含的排除信息，也就是不符合if内要求的解空间都被排除掉了;
}
}
};

关于回溯还有很多题目，都是类似的，有：8皇后，跳马全棋盘，零钱问题等等。

详情见资源下载：

http://download.csdn.net/detail/tinyway/7287083

如果大家有新的编程思路的话希望能够告诉我，谢谢。

有人说，回溯实际上是递归的展开，但实际上。两者的指导思想并不一致。

打个比方吧，递归法好比是一个军队要通过一个迷宫，到了第一个分岔口，有3条路，将军命令3个小队分别去探哪条路能到出口，3个小队沿着3条路分别前进，各自到达了路上的下一个分岔口，于是小队长再分派人手各自去探路——只要人手足够（对照而言，就是计算机的堆栈足够），最后必将有人找到出口，从这人开始只要层层上报直属领导，最后，将军将得到一条通路。所不同的是，计算机的递归法是把这个并行过程串行化了。

而回溯法则是一个人走迷宫的思维模拟——他只能寄希望于自己的记忆力，如果他没有办法在分岔口留下标记（电视里一演到什么迷宫寻宝，总有恶人去改好人的标记）。