nyoj-453 小珂的烦恼(威佐夫博弈 )

小珂的烦恼

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难度：2

描述        小珂遇到了一个麻烦的问题，有这样的N对数（1，2），（3，5），（4，7），（6，10）……，第i对的差值为i，第n对数的第一个数为没在前n-1对中出现过的数中最小的，现在要找第n对这样的数，你能帮帮他吗？

输入第一行只有一个整数m（m<=10000),表示测试数据组数。

接下来的m行，每行有一个整数n(n<=100000)。输出输出第n对数，每组输出占一行。样例输入

2
1
3

样例输出

1 2
4 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

代码如下：

[cpp]
view plaincopyprint?

#include<iostream>   
#include<cstring>   
#include<cstdio>   
using namespace std;  
  
const int N = 200010;  
int a
;  
  
void fun()  
{  
    int num = 1;  
    for(int i = 1; num <= 50000; ++i)  
    {  
        if(a[i] == 0)  
        {  
            a[i] = a[i + num] = 1;  
            a[num++] = i;  
        }  
    }  
}  
  
int main()  
{  
    int ncase;  
    scanf("%d", &ncase);  
    memset(a, 0, sizeof(a));  
    fun();  
    while(ncase--)  
    {  
        int num;  
        scanf("%d", &num);  
        printf("%d %d\n", a[num], a[num] + num);  
    }  
    return 0;  
}  

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N = 200010;
int a
;

void fun()
{
int num = 1;
for(int i = 1; num <= 50000; ++i)
{
if(a[i] == 0)
{
a[i] = a[i + num] = 1;
a[num++] = i;
}
}
}

int main()
{
int ncase;
scanf("%d", &ncase);
memset(a, 0, sizeof(a));
fun();
while(ncase--)
{
int num;
scanf("%d", &num);
printf("%d %d\n", a[num], a[num] + num);
}
return 0;
}

第二种方法是找规律，不过我找了半天也没找到。最后问了一下，原来是威佐夫博奕的应用。

威佐夫博奕（Wythoff Game）：

　　有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

　　这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

　　可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k。

奇异局势有如下三条性质：

　　1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

　　由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1成立。

　　2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

　　事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。

　　3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

　　假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk 那么，取走b - bk个物体，即变为奇异局势；如果 a = ak ， b < bk 则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体变为奇异局势（ ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k 则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）从第二堆里面拿走
b - bj 即可；第二种，a=bj （j < k）从第二堆里面拿走 b - aj 即可。

结论：

　　两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。

　　那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

　　ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...n 方括号表示取整函数)

　　奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618...因此，由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1 + j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

代码如下：

[cpp]
view plaincopyprint?

#include<iostream>   
#include<cstring>   
#include<cstdio>   
#include<cmath>   
using namespace std;  
  
int main()  
{  
    int ncase;  
    scanf("%d", &ncase);  
    while(ncase--)  
    {  
        int num;  
        scanf("%d", &num);  
        int ans = num * ((sqrt(5.0) + 1) / 2); //威佐夫博弈
  
        printf("%d %d\n", ans, ans + num);  
    }  
    return 0;  
}  

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

int main()
{
int ncase;
scanf("%d", &ncase);
while(ncase--)
{
int num;
scanf("%d", &num);
int ans = num * ((sqrt(5.0) + 1) / 2); //威佐夫博弈
printf("%d %d\n", ans, ans + num);
}
return 0;
}