《算法导论》笔记 第14章 14.3 区间树

【笔记】

待码！！！！！

把一个区间[t1,t2]表示为一个对象i，其各个域为low[i]=t1(低端点)，high[i]=t2(高端点)。

我们说区间i和i'重叠，如果i∩i'≠ Ø。亦即如果low[i]<=high[i']，且low[i']<=high[i]。

任意两个区间i和i'满足区间三分法，也就是下列三种性质之一：

a) i 和 i' 重叠

b) i 在 i' 左边

c) i 在 i' 右边

区间树是一种对动态集合进行维护的红黑树，该集合中的每个元素x都包含一个区间int[x]。区间树支持下列操作：

INTERVAL-INSERT(T,x)：将包含区间域int的元素x插入到区间树T中。

INTERVAL-DELETE(T,x)：从区间树中删除元素x。

INTERVAL-SEARCH(T,i)：返回一个指向区间树T中元素x的指针，使int[x]与i重叠；若集合中无此元素存在，则返回nil。

基础数据结构：红黑树，每个结点x包含一个区间域int[x]，x的关键字为区间的低端点low[int[x]]。

附加信息：max[x]，即以x为根的 子树中所有区间的端点的最大值。

对信息的维护：max[x] = max{ high[int[x]], max[left[x]], max[right[x]] }

设计新的操作：SEARCH，若left[x]!=nil且max[left[x]]>=low[i]则向右子树查询。

【练习】

14.3-1 写出作用于区间树的结点、并于O(1)时间内更新max域的LEFT-ROTATE的伪代码。

先维护旋转后的子树，在维护新的根。

14.3-2 重写INTERVAL-SEARCH代码，使得当所有的区间都是开区间时，它也能正确的工作。

其实把所有开区间都-1+1不就好了。

14.3-3 请给出一个有效的算法，使对给定的区间i，它返回一个与i重叠的、具有最小低端点的区间；或者，不存在返回nil。

SEARCH。

14.3-4 给定一个区间树T和一个区间i，请描述如何能在O(min(n,klgn))时间内，列出T中所有与i重叠的区间，此处k为输出区间数。

一个尽可能向右找的SEARCH。

14.3-5 支持操作INTERVAL-SEARCH-EXACTLY(T,i)，它返回一个指向区间树T中结点x的指针，使low[int[x]]=low[i]，high[int[x]]=high[i]，不包含则返回nil。所有操作对于n结点树运行时间为O(lgn)。

暂缺

14.3-6 请说明如何来维护一个支持操作MIN-GAP的动态数集Q，使该操作能给出Q中最近的两个数之间的差幅。使操作INSERT，DELETE，SEARCH和MIN-GAP尽可能的高效，并分析它们的运行时间。

略