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组合数学之第一章之完美覆盖,断层线,幻方,拉丁方,Nim取子游戏

2014-04-22 20:56 701 查看
第一章

一、完美覆盖

1. 2-牌(多米诺牌)的完美覆盖

一个m*n的棋盘存在完美覆盖  <=>  m和n中至少有一个是偶数。

2. 证明2-牌的完美覆盖

一个棋盘上写着白、黑、白……(写的规则:每上下两个相邻的方格必须有白有黑;没左右两个方格也必须有白有黑)。

白的个数必须=黑的个数,才有完美覆盖

3. 1*b牌的的每晚覆盖

一个m*n的棋盘可以被b-牌完美覆盖  ó b是m的因子或b是n的因子。

4. 证明b牌的完美覆盖

一个棋盘上写着1,2,3,…b-1。(注意写的规则:每水平或竖直相邻的b个方格都必须有1,2,3。。。b-1的每个数)。

1的个数=2的个数=3的个数=。。。=b-1的个数。

二、切立方体

1. 一个3*3*3的立方体,切成27个小立方体的最少切数。

由于最里面的小立方体有6个面,每个面必须要一刀,所以最少要6刀。

2. 一个4*4的棋盘,被8个多米诺牌完美覆盖,证明总存在横向或纵向的一刀,切成两个非空的部分,且不切断多米诺牌。这样的一刀叫做断层线。

假设不存在这样的断层线,由于是4*4的棋盘,所以x1,x2,x3和y1,y2,y3,表示水平和竖直的切线切到的牌的个数,由假设知,它们都是正数,由于一个多米诺牌水平是占两个格子,或数值占上下各一个格子,所以要保证两相邻的两行完美覆盖,则竖直的牌的个数必须是偶数。所以x1>=2,x2>=2,x3>=2. X1+x2+x3>=6; 同理y1+y2+y3>=6;所以多米诺牌的个数要大于等于12,但由于题目多米诺牌为8,所以假设不成立。

三、幻方

1. 将1,2,3,。。。n*n数填入n*n的方格中,保证水平、竖直、对角线方向上和相等。

2. 幻方的填入方法,(注意从坐下往右上方走↗)。

  1填入第一行的中间(假设n为奇数)

如果右上方有数,则填入本格的下方

如果本格是右上角,则填入本格的下方

如果右上方超出棋盘,(如果超出的是行,则回到最底行,如果超出的是列,则回到第一列)

四、 36军官问题

1. n阶拉丁方,就是1~n数,放入n*n的棋盘中,保证每行、每列1~n都出现一次。

2. 2个n阶拉丁方正交:2个拉丁方合成对应的序偶矩阵时,生成了全部的n*n中可能的序偶(也就是说不存在相同的序偶)。

五、 Nim取子游戏

规则:有n堆石子,每堆可能含有m1,m2,。。。。个石子,A,B每次选一堆石子,然后取走非0个石子(小于等于这堆的总石子数)。最后取子的人获胜。

A先取。

假如有2堆石子,如果两堆石子初始不相同,则A每次取走n个石子,使得两堆石子相同,则A肯定是最后取子的人,则A肯定获胜。

假如两堆石子初试相同,则A取之后肯定不相同了,则B可以每次取n个石子,使得剩下的两堆石子一直是相同的,则B肯定是最后取子的人,则B获胜。

1.      加入2堆石子,其中一堆有n个石子,另一堆有m个石子,n和m用二进制表示出来后。加入m=57,则二进制为:111001,则可以将这个堆分为1个2^5,1个2^4,1个2^3,0个2^2,0个2^1,1个2^0六种子堆,如果m=n,则必须是n的六种子堆数等于m的。换句话说就是m和n的六种子堆,每种子堆的个数和必须是偶数。

2.      推广:k堆中。

K堆,每堆的二进制表示:

N1=a1a2a3a4….am

N2=b1b2b3b4….bm



Nk=e1e2e3…em.

当且仅当a1+b1+…+e1是偶数;

        A2+b2+…+e2是偶数;

        。。。。

        Am+bm+…+em是偶数;

则,一个游戏是平衡的。如果有一位是不平衡的则这个游戏就是不平衡的。

A可以在不平衡游戏中取胜,B可以在平衡游戏中取胜。

例子4堆7,9,12,15.这句游戏不平衡,则A第一次要取多少能赢?
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