组合数学之第一章之完美覆盖，断层线，幻方，拉丁方，Nim取子游戏

第一章

一、完美覆盖

1. 2-牌（多米诺牌）的完美覆盖

一个m*n的棋盘存在完美覆盖  <=>  m和n中至少有一个是偶数。

2. 证明2-牌的完美覆盖

一个棋盘上写着白、黑、白……（写的规则：每上下两个相邻的方格必须有白有黑；没左右两个方格也必须有白有黑）。

白的个数必须=黑的个数，才有完美覆盖

3. 1*b牌的的每晚覆盖

一个m*n的棋盘可以被b-牌完美覆盖  ó b是m的因子或b是n的因子。

4. 证明b牌的完美覆盖

一个棋盘上写着1，2，3，…b-1。（注意写的规则：每水平或竖直相邻的b个方格都必须有1，2，3。。。b-1的每个数）。

1的个数=2的个数=3的个数=。。。=b-1的个数。

二、切立方体

1. 一个3*3*3的立方体，切成27个小立方体的最少切数。

由于最里面的小立方体有6个面，每个面必须要一刀，所以最少要6刀。

2. 一个4*4的棋盘，被8个多米诺牌完美覆盖，证明总存在横向或纵向的一刀，切成两个非空的部分，且不切断多米诺牌。这样的一刀叫做断层线。

假设不存在这样的断层线，由于是4*4的棋盘，所以x1，x2，x3和y1，y2，y3，表示水平和竖直的切线切到的牌的个数，由假设知，它们都是正数，由于一个多米诺牌水平是占两个格子，或数值占上下各一个格子，所以要保证两相邻的两行完美覆盖，则竖直的牌的个数必须是偶数。所以x1>=2,x2>=2,x3>=2. X1+x2+x3>=6; 同理y1+y2+y3>=6;所以多米诺牌的个数要大于等于12，但由于题目多米诺牌为8，所以假设不成立。

三、幻方

1. 将1，2，3，。。。n*n数填入n*n的方格中，保证水平、竖直、对角线方向上和相等。

2. 幻方的填入方法，（注意从坐下往右上方走↗）。

  1填入第一行的中间（假设n为奇数）

如果右上方有数，则填入本格的下方

如果本格是右上角，则填入本格的下方

如果右上方超出棋盘，（如果超出的是行，则回到最底行，如果超出的是列，则回到第一列）

四、 36军官问题

1. n阶拉丁方，就是1~n数，放入n*n的棋盘中，保证每行、每列1~n都出现一次。

2. 2个n阶拉丁方正交：2个拉丁方合成对应的序偶矩阵时，生成了全部的n*n中可能的序偶（也就是说不存在相同的序偶）。

五、 Nim取子游戏

规则：有n堆石子，每堆可能含有m1，m2，。。。。个石子，A，B每次选一堆石子，然后取走非0个石子（小于等于这堆的总石子数）。最后取子的人获胜。

A先取。

假如有2堆石子，如果两堆石子初始不相同，则A每次取走n个石子，使得两堆石子相同，则A肯定是最后取子的人，则A肯定获胜。

假如两堆石子初试相同，则A取之后肯定不相同了，则B可以每次取n个石子，使得剩下的两堆石子一直是相同的，则B肯定是最后取子的人，则B获胜。

1.      加入2堆石子，其中一堆有n个石子，另一堆有m个石子，n和m用二进制表示出来后。加入m=57，则二进制为：111001，则可以将这个堆分为1个2^5,1个2^4,1个2^3,0个2^2,0个2^1,1个2^0六种子堆，如果m=n，则必须是n的六种子堆数等于m的。换句话说就是m和n的六种子堆，每种子堆的个数和必须是偶数。

2.      推广：k堆中。

K堆，每堆的二进制表示：

N1=a1a2a3a4….am

N2=b1b2b3b4….bm

…

Nk=e1e2e3…em.

当且仅当a1+b1+…+e1是偶数；

        A2+b2+…+e2是偶数；

        。。。。

        Am+bm+…+em是偶数；

则，一个游戏是平衡的。如果有一位是不平衡的则这个游戏就是不平衡的。

A可以在不平衡游戏中取胜，B可以在平衡游戏中取胜。

例子4堆7，9，12，15.这句游戏不平衡，则A第一次要取多少能赢？