线性代数学习笔记(十一)
2014-04-13 16:28
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这一节讨论实数领域的对称矩阵(一般情况下,实对称矩阵简称对称矩阵)。Strang说:It is no exaggeration to say that these are the most important matrices the world will ever see-in the theory of linear algebra and also in the applications.
对称矩阵只有实数特征值
对称矩阵特征向量可以是正交的(说“可以”是因为例如I,所有向量都是它的特征向量,我们可以从中选出一组正交的)
一个比较:
一般矩阵 A=SΛS-1 (在A能对角化的前提下)
对称矩阵 A=QΛQ-1=QΛQT (复习:Q的逆等于Q的转置,因为QQT=I)(是否意味对称矩阵都能对角化?)
对称矩阵A=QΛQT这个分解的美妙之处,在于同时展示了特征值、特征向量、转置(QΛQT转置后不变)三者的关系于一身。
当A是对称的时候,特征值只能为实数,当A不是对称的时候,有可能引入复数特征值/向量(也可能刚好没引入)。可以知道的是,引入的复数特征值/向量都共轭成对出现,因为
,可知共轭λ和共轭x也是A的特征值/向量
将对称矩阵A(前提)化成上三角矩阵后得到pivot,有多少pivot大于0就有多少A的特征值大于0
非对称矩阵在特征值有重复的情况下,可能没有n个独立的特征向量;但是对称矩阵即使在特征值重复的前提下,依然可以找到n个独立的特征向量
实对称矩阵
特性:①实数特征值 ②正交特征向量
实对称矩阵如此重要的原因来自于特征[值/向量]的特性(应该学会用特征值/向量的特殊性来看矩阵了),下面是Spectral Theorem:对称矩阵只有实数特征值
对称矩阵特征向量可以是正交的(说“可以”是因为例如I,所有向量都是它的特征向量,我们可以从中选出一组正交的)
一个比较:
一般矩阵 A=SΛS-1 (在A能对角化的前提下)
对称矩阵 A=QΛQ-1=QΛQT (复习:Q的逆等于Q的转置,因为QQT=I)(是否意味对称矩阵都能对角化?)
对称矩阵A=QΛQT这个分解的美妙之处,在于同时展示了特征值、特征向量、转置(QΛQT转置后不变)三者的关系于一身。
证明特征值为实数
首先将Ax=λx取共轭后再取转置得到(1右),将(1左)与(1右)构造出相同的等号左半部分,从而得到右半部分必须相同。证明特征向量之间相互垂直
注意利用转置这个特性。分解为投影矩阵
记得最初的几节课,矩阵乘法可以看做row pic, col pic, 行乘以列,还有就是列行分块。这是第一次见到列行分块。将A拆分成(6)之后,每一项都是投影矩阵,对称矩阵A就是投影矩阵的组合。其余内容
这部分内容真是太多了,将其余不是很重要的列在这里:当A是对称的时候,特征值只能为实数,当A不是对称的时候,有可能引入复数特征值/向量(也可能刚好没引入)。可以知道的是,引入的复数特征值/向量都共轭成对出现,因为
,可知共轭λ和共轭x也是A的特征值/向量
将对称矩阵A(前提)化成上三角矩阵后得到pivot,有多少pivot大于0就有多少A的特征值大于0
非对称矩阵在特征值有重复的情况下,可能没有n个独立的特征向量;但是对称矩阵即使在特征值重复的前提下,依然可以找到n个独立的特征向量
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