【解题报告】[动态规划] CodingTrip - 携程编程大赛 (预赛第一场)- 聪明的猴子
2014-04-12 10:44
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原题:
例如,当A=2,B=4时,对于卡片(2, 3, 4),猴子就可以吃到香蕉:它可以先向左跳3棵树,再向右跳两棵树。而对于卡片(2, 2, 4),猴子则怎么也不可能跳到它左边相邻的香蕉树上。
当确定A和B后,则一共可以有B^A张不同的卡片。问题是,在这所有的卡片中,有多少张可以让猴子完成任务。
第2至k+1行,每行两个自然数A和B,以一个空格分开 (A<= 10 , B <= 20)。
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聪明的猴子
Time Limit : 2000/1000ms (Java/Other) Memory Limit : 32768/32768K (Java/Other)Problem Description
森林中有一排香蕉树(无限长),一只猴子站在其中一棵树上,猴子在跳跃前要先抽取一张卡片,卡片上写有A+1个自然数,其中最后一个是B,前A个数只能小于等于B,卡片上的数字可以相同。猴子每次跳跃先从卡片上任选一个自然数C,然后向左、或向右跳C棵树。猴子的任务是:跳到与它左边相邻的香蕉树上时,就可以吃掉上面的香蕉。例如,当A=2,B=4时,对于卡片(2, 3, 4),猴子就可以吃到香蕉:它可以先向左跳3棵树,再向右跳两棵树。而对于卡片(2, 2, 4),猴子则怎么也不可能跳到它左边相邻的香蕉树上。
当确定A和B后,则一共可以有B^A张不同的卡片。问题是,在这所有的卡片中,有多少张可以让猴子完成任务。
Input
第1行k,表示有k组测试数据,k<=100第2至k+1行,每行两个自然数A和B,以一个空格分开 (A<= 10 , B <= 20)。
Output
共k行,每行的数字代表每组数据中,可以让猴子跳到它左边相邻香蕉树的卡片数。Sample Input
3 2 3 4 8 5 13
Sample Output
8 3840 371292 ========================================================================================= 解题思路: 不难得知,要满足猴子能跳到相邻的树上,要满足所有数的最大公约数等于1。 对于一组数据:{6,8,3,5,10} 要求出它们的最大公约数,可以这么计算: 先计算出gcd(6,8)=2,然后用结果和3计算,即:gcd(2,3)=1。当结果为1时,gcd(1,x)=1。就可以知道,此时满足条件了。要计算满足条件的数据总数,可以这样:递归遍历每一种情况,然后判断该序列的gcd是否等于1。等于1计数。 题目给的范围是A<= 10 , B <= 20,有B^A种情况,如果一个一个判断过去是一定要超时的。 因此想到这样的一个优化: 如果判断到中间某个数时,gcd已经为1了,那么在这种情况下,后面的序列已经不能影响gcd,那么这一类的所有情况都可以,即,如果gcd为1时还剩下n个数没搜索,则该情况下的个数为B^n。 经过这一步的优化,依然不足以计算出较大的数据。现在就想到了一个记忆化搜索。设dp[x][y]表示当前最大公约数为x,已经选择了y个数时的情况的数量。这时将B这个数当做是第一个数来进入递归,即要求的为dp[B][1]。 解题代码:
#include<iostream> #include<stdio.h> #include<string.h> using namespace std; long long a,b,ans; long long dp[25][15]={0}; long long gcd(long long a,long long b) { if(b==0) return a; return gcd(b,a%b); } long long pow(long long a,long long b) { long long s=1; while(b--) s*=a; return s; } int f(long long g,long long k) { if(dp[g][k]!=0) {ans+=dp[g][k];return 1;} if(k>a) { /*if(gcd(g,b)==1) ans+=1;*/ return 0; } long long ans2=ans; for(long long i=1;i<=b;i++) { long long gg=gcd(g,i); if(gg==1) { ans+=pow(b,a-k); } else f(gg,k+1); } dp[g][k]=ans-ans2; return 1; } int main() { long long k; cin>>k; while(k--) { cin>>a>>b; memset(dp,0,sizeof(dp)); ans=0; f(b,1); /*for(long long i=1;i<=b;i++) f(i,2);*/ cout<<ans<<endl; } }
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