【排序】插入排序（直接插入排序、希尔排序）

插入排序(Insertion Sort)的基本思想是：

每次将一个待排序的记录，按其关键字大小插入到前面已经排好序的子文件中的适当位置，直到全部记录插入完成为止。

本节介绍两种插入排序方法：直接插入排序和希尔排序。

直接插入排序基本思想

1、基本思想

　假设待排序的记录存放在数组R[1..n]中。初始时，R[1]自成1个有序区，无序区为R[2..n]。从i=2起直至i=n为止，依次将R[i]插入当前的有序区R[1..i-1]中，生成含n个记录的有序区。

2、第i-1趟直接插入排序：

　通常将一个记录R[i](i=2，3，…，n-1)插入到当前的有序区，使得插入后仍保证该区间里的记录是按关键字有序的操作称第i-1趟直接插入排序。

　排序过程的某一中间时刻，R被划分成两个子区间R[1．．i-1]（已排好序的有序区）和R[i．．n]（当前未排序的部分，可称无序区）。

　直接插入排序的基本操作是将当前无序区的第1个记录R[i]插人到有序区R[1．．i-1]中适当的位置上，使R[1．．i]变为新的有序区。因为这种方法每次使有序区增加1个记录，通常称增量法。

　插入排序与打扑克时整理手上的牌非常类似。摸来的第1张牌无须整理，此后每次从桌上的牌(无序区)中摸最上面的1张并插入左手的牌(有序区)中正确的位置上。为了找到这个正确的位置，须自左向右(或自右向左)将摸来的牌与左手中已有的牌逐一比较。

一趟直接插入排序方法

1．简单方法

　首先在当前有序区R[1..i-1]中查找R[i]的正确插入位置k(1≤k≤i-1)；然后将R[k．．i-1]中的记录均后移一个位置，腾出k位置上的空间插入R[i]。

注意：

　若R[i]的关键字大于等于R[1．．i-1]中所有记录的关键字，则R[i]就是插入原位置。

2．改进的方法

　　一种查找比较操作和记录移动操作交替地进行的方法。

具体做法：

　将待插入记录R[i]的关键字从右向左依次与有序区中记录R[j](j=i-1，i-2，…，1)的关键字进行比较：

　① 若R[j]的关键字大于R[i]的关键字，则将R[j]后移一个位置；

②若R[j]的关键字小于或等于R[i]的关键字，则查找过程结束，j+1即为R[i]的插入位置。

　关键字比R[i]的关键字大的记录均已后移，所以j+1的位置已经腾空，只要将R[i]直接插入此位置即可完成一趟直接插入排序。

直接插入排序算法

1．算法描述

void lnsertSort(SeqList R)
{ //对顺序表R中的记录R[1..n]按递增序进行插入排序
int i，j；
for(i=2;i<=n；i++) //依次插入R[2]，…，R

if(R[i].key<R[i-1].key)	//若R[i].key大于等于有序区中所有的keys，则R[i]在原有位置上
{//开始插入排序
R[0]=R[i];j=i-1; //R[0]是哨兵，且是R[i]的副本
R[i]=R[i-1];	//将比较过的记录后移
for(j=i-2;R[0].key<R[j].key;j--)//循环判断
R[j+1]=R[j];	//将比较过的记录后移
R[j+1]=R[0]	//插入到正确的位置
}//endif
}//InsertSort

2．哨兵的作用

　算法中引进的附加记录R[0]称监视哨或哨兵(Sentinel)。

　 哨兵有两个作用：

　　① 进人查找(插入位置)循环之前，它保存了R[i]的副本，使不致于因记录后移而丢失R[i]的内容；

　　② 它的主要作用是：在查找循环中"监视"下标变量j是否越界。一旦越界(即j=0)，因为R[0].key和自己比较，循环判定条件不成立使得查找循环结束，从而避免了在该循环内的每一次均要检测j是否越界(即省略了循环判定条件"j>=1")。

注意：

　 ① 实际上，一切为简化边界条件而引入的附加结点(元素)均可称为哨兵。

　　 【例】单链表中的头结点实际上是一个哨兵

　　② 引入哨兵后使得测试查找循环条件的时间大约减少了一半，所以对于记录数较大的文件节约的时间就相当可观。对于类似于排序这样使用频率非常高的算法，要尽可能地减少其运行时间。所以不能把上述算法中的哨兵视为雕虫小技，而应该深刻理解并掌握这种技巧。

给定输入实例的排序过程【动画模拟演示】

算法分析

1．算法的时间性能分析

　对于具有n个记录的文件，要进行n-1趟排序。

各种状态下的时间复杂度：

初始文件状态	正序	反序	平均
第i趟比较次数	1	i+1	（i-2）/2
总关键字比较次数	n-1	(n+2)(n-1)/2	≈n2/4
第i趟移动次数	0	i+2	（i-2）/2
总的移动次数	0	(n-1)(n+4)/2	≈n2/4
时间复杂度	0（n）	O（n^2）	O（n^2）

注意：

　初始文件按关键字递增有序，简称"正序"。

　 初始文件按关键字递减有序，简称"反序"。

2．算法的空间复杂度分析

　算法所需的辅助空间是一个监视哨，辅助空间复杂度S(n)=O(1)。是一个就地排序。

3．直接插入排序的稳定性

　直接插入排序是稳定的排序方法。

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。因D．L．Shell于1959年提出而得名。

希尔排序基本思想( 假设原有序列“基本有序” )

基本思想：

　 先取一个小于n的整数d1作为第一个增量，把文件的全部记录分成d1个组。所有距离为dl的倍数的记录放在同一个组中。先在各组内进行直接插人排序；

然后，取第二个增量d2<d1重复上述的分组和排序，直至所取的增量dt=1(dt<dt-l<…<d2<d1)，即所有记录放在同一组中进行直接插入排序为止。

　该方法实质上是一种分组插入方法。

给定实例的shell排序的排序过程【动画模拟演示】。

Shell排序的算法实现

void Shellinsert(SqList R, int dk)
{//对顺序表R中的记录R[1..n]进行希尔排序，本算法和一趟直接插入排序相比，做了以下修改
//  1.前后记录的位置的增量是dk，而不是1（最后会变为1）
//  2.R[0]只是暂存单元，而不是哨兵
while(dk--)//其实最好不要自减,这里只是为了方便
{
int i,j;
for (i=dk+1;i<=n;i++)
{
if (R[i].key<R[i-dk].key)
{//将R[i]插入有序表
R[0]=R[i];			//暂存在R[0]
R[i]=R[i-dk];		//后移比较过的记录
for (j=i-2*dk;(j>0)&&(R[0].key<R[j].key);j-=dk)
R[j+dk]=R[j];	//后移比较过的记录
R[j+dk]=R[0];		//插入到正确的位置
}
}
}
}

算法分析

1．增量序列的选择

　Shell排序的执行时间依赖于增量序列。

　好的增量序列的共同特征：

　　① 最后一个增量必须为1；

　　② 应该尽量避免序列中的值(尤其是相邻的值)互为倍数的情况。

　有人通过大量的实验，给出了目前较好的结果：当n较大时，比较和移动的次数约在nl.25到1.6n1.25之间。

2．Shell排序的时间性能优于直接插入排序

　希尔排序的时间性能优于直接插入排序的原因：

　　①当文件初态基本有序时直接插入排序所需的比较和移动次数均较少。

　　②当n值较小时，n和n2的差别也较小，即直接插入排序的最好时间复杂度O(n)和最坏时间复杂度0(n2)差别不大。

　　③在希尔排序开始时增量较大，分组较多，每组的记录数目少，故各组内直接插入较快，后来增量di逐渐缩小，分组数逐渐减少，而各组的记录数目逐渐增多，但由于已经按di-1作为距离排过序，使文件较接近于有序状态，所以新的一趟排序过程也较快。

　因此，希尔排序在效率上较直接插人排序有较大的改进。

3．稳定性

　希尔排序是不稳定的。参见上述实例，该例中两个相同关键字49在排序前后的相对次序发生了变化。