[复变函数]第14堂课 4.2 幂级数
2014-04-02 20:52
441 查看
1. 幂级数
(1) 定义: $\dps{\sum_{n=0}^\infty c_n(\zeta-a)^n}$ $\to$ $\dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\ (z=\zeta-a)}$.
(2) Abel 定理: $$\bex \ba{rl} \dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\mbox{ 在 }z_1(\neq 0)\mbox{ 处收敛}}&\ra \dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\mbox{ 在 }|z|<|z_1|\mbox{ 内绝对、内闭一致收敛};}\\ \dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\mbox{ 在 }z_2(\neq 0)\mbox{ 处发散}}&\ra\dps{ \sum_{n=0}^\infty c_nz^n\mbox{ 在 }|z|>|z_2|\mbox{ 处发散}.} \ea \eex$$ 证明: $$\bex c_nz^n=c_nz_1^n\cdot\sex{\cfrac{z}{z_1}}^n. \eex$$
(3) 收敛半径: $$\bex R=\sup\sed{|z|;\ \sum_{n=0}^\infty c_nz^n\mbox{ 在 }z\mbox{ 处收敛}}. \eex$$ 如此, $\dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n}$ 在 $|z|<R$ 内绝对、内闭一致收敛; 在 $|z|>R$ 内发散.
a. $R$ 的求法 $$\bex R=\vlm{n}\sev{\cfrac{c_n}{c_{n+1}}},\quad R=\cfrac{1}{\dps{\vls{n}\sqrt
{|c_n|}}}. \eex$$
b. 例: 求 $\dps{\sum_{n=1}^\infty \cfrac{z^n}{n^2},\ \sum_{n=0}^\infty \cos(in)(z-1)^n, \sum_{n=0}^\infty n!z^n}$ 的收敛半径.
c. 例: 判断级数 $\dps{\sum_{n=0}^\infty (5+12i)^n}$ 的敛散性.
2. 和函数
(1) 性质
a. $\dps{f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n}$ 在 $|z|<R$ 内解析.
b. $f(z)$ 可逐项求导, 并由此得到 $\dps{c_p=\cfrac{f^{(p)}(0) }{p!},\ p=0,1,2,\cdots}$.
(2) 计算
a. 例: 求 $\dps{\sum_{n=0}^\infty n^2z^n}$, $\dps{\sum_{n=0}^\infty n^3z^n}$, $\dps{\sum_{n=0}^\infty \cfrac{z^n}{n}}$, $\dps{\sum_{n=0}^\infty \cfrac{z^n}{n^2}}$ 的收敛半径及和函数.
解: 逐项求导或逐项求积. 注意到 $$\bex n^2=n(n-1)+n,\quad n^3=n(n-1)(n-2)+3n(n-1)+n,\mbox{ 等等}. \eex$$ 最后一个算不出来 (或者不能用初等函数表示之). 但这说明了一个问题:幂级数虽然可以在收敛圆周上处处收敛, 但和函数却一定在收敛圆周上有一个奇点!
作业: P 174 T 1 (3) , T 2 (2) .
(1) 定义: $\dps{\sum_{n=0}^\infty c_n(\zeta-a)^n}$ $\to$ $\dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\ (z=\zeta-a)}$.
(2) Abel 定理: $$\bex \ba{rl} \dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\mbox{ 在 }z_1(\neq 0)\mbox{ 处收敛}}&\ra \dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\mbox{ 在 }|z|<|z_1|\mbox{ 内绝对、内闭一致收敛};}\\ \dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\mbox{ 在 }z_2(\neq 0)\mbox{ 处发散}}&\ra\dps{ \sum_{n=0}^\infty c_nz^n\mbox{ 在 }|z|>|z_2|\mbox{ 处发散}.} \ea \eex$$ 证明: $$\bex c_nz^n=c_nz_1^n\cdot\sex{\cfrac{z}{z_1}}^n. \eex$$
(3) 收敛半径: $$\bex R=\sup\sed{|z|;\ \sum_{n=0}^\infty c_nz^n\mbox{ 在 }z\mbox{ 处收敛}}. \eex$$ 如此, $\dps{\sum_{n=0}^\infty c_nz^n}$ 在 $|z|<R$ 内绝对、内闭一致收敛; 在 $|z|>R$ 内发散.
a. $R$ 的求法 $$\bex R=\vlm{n}\sev{\cfrac{c_n}{c_{n+1}}},\quad R=\cfrac{1}{\dps{\vls{n}\sqrt
{|c_n|}}}. \eex$$
b. 例: 求 $\dps{\sum_{n=1}^\infty \cfrac{z^n}{n^2},\ \sum_{n=0}^\infty \cos(in)(z-1)^n, \sum_{n=0}^\infty n!z^n}$ 的收敛半径.
c. 例: 判断级数 $\dps{\sum_{n=0}^\infty (5+12i)^n}$ 的敛散性.
2. 和函数
(1) 性质
a. $\dps{f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n}$ 在 $|z|<R$ 内解析.
b. $f(z)$ 可逐项求导, 并由此得到 $\dps{c_p=\cfrac{f^{(p)}(0) }{p!},\ p=0,1,2,\cdots}$.
(2) 计算
a. 例: 求 $\dps{\sum_{n=0}^\infty n^2z^n}$, $\dps{\sum_{n=0}^\infty n^3z^n}$, $\dps{\sum_{n=0}^\infty \cfrac{z^n}{n}}$, $\dps{\sum_{n=0}^\infty \cfrac{z^n}{n^2}}$ 的收敛半径及和函数.
解: 逐项求导或逐项求积. 注意到 $$\bex n^2=n(n-1)+n,\quad n^3=n(n-1)(n-2)+3n(n-1)+n,\mbox{ 等等}. \eex$$ 最后一个算不出来 (或者不能用初等函数表示之). 但这说明了一个问题:幂级数虽然可以在收敛圆周上处处收敛, 但和函数却一定在收敛圆周上有一个奇点!
作业: P 174 T 1 (3) , T 2 (2) .
相关文章推荐
- 浅谈Spring事务隔离级别
- 黑马程序员 第17天 final 抽象类 模版方法模式 接口
- 类加载器---URLClassLoader类
- 《算法给轮》第四周作业——图的表示
- 图像的腐蚀(erode)和膨胀(dilate) 开运算以及闭运算------理论知识及其对应函数
- UVA 562 Dividing coins(DP:01背包)
- 黑马程序员:C语言基本知识(1)
- Ie8兼容性问题web.config设置
- 解Ad Hoc类问题的编程实验
- C/C++基本数据类型所占字节数
- WM_CTLCOLOR和OnCtlColor消息的用法
- 程序员:选择效率,还是选择质量?
- 基本搞定离职事宜
- 设计模式_单例
- Computer Science Theory for the Information Age-4: 一些机器学习算法的简介
- JSP知识点
- Hello Qt
- C#总结
- etc/hosts file
- 有符号及无符号位域值的测试