最大公约数问题

最大公约数问题

提出问题：

写一个程序，求两个数的最大公约数(Greatest Common Divisor,GCD)。如果两个正整数都很大，有什么简单的算法吗？
例如，给定两个数1100 100 210 001，120 200 021,求出其最大公约数。

解法一：
求最大公约数是一个很基本的问题。早在公元前300年左右，欧几里得就给出了高效的解法—辗转相除法。
例如：F(42,30)=F(30,12)=F(12,6)=F(6,0)=6;
利用递归就能很轻松的解决这个问题，非递归算法也是很简洁。

int Gcd1(int x,int y)
{
return (!y)?x:Gcd1(y,x%y);
}

int Gcd2(int x,int y)
{
int temp;
while(y)
{
temp=x%y;
x=y;
y=temp;
}

return x;
}

解法二：
在上面的解法中，我们用到了取模运算。但对于大整数而言，取模运算(其中用到除法)是非常昂贵的开销，将成为整个算法的瓶颈。有没有办法能够不用取模运算呢?其实F(x,y)=F(x-y,y)，那么就可以转换成简单的多得大整数的减法运算。
例如：
F(42,30)=F(12,30)=F(30,12)=F(18,12)=F(6,12)=F(12,6)=F(6,6)=F(0,6)=F(6,0)=6;

int Gcd3(int x,int y)
{
if(x<y)
return Gcd3(y,x);//如果x<y，交换x,y,因为f(x,y)=f(y,x),从而避免
if(y==0)	          //求一个正数和一个负数的最大公约数的情况出现
return x;
else
return Gcd3(x-y,y);
}

这个算法免去了大整数除法的繁琐，但是同样也有不足之处：迭代次数明显增多了不少，如果遇到F(1000000000,1)这样的情况，估计就会栈溢出了。

解法三：
结合解法一以及解法二，就可以成为一个最佳的算法。
从分析公约数的特点入手：
对于x和y来说，如果y=k*y1,x=k*x1。那么就有F(y,x)=k*F(y1,x1);
另外，如果x=p*x1假设p为素数，并且y%p!=0,即y不能被p整除，那么F(x,y)=F(p*x1,y)=F(x1,y);
我们知道2是一个素数，而且计算机内可以很容易的将乘以2，除以2转换成移位运算。
若x,y均为偶数，F(x,y)=2*F(x/2,y/2)=2*F(x>>1,y>>1);
若x为偶数，y为奇数F(x,y)=F(x/2,y)=F(x>>1,y);
若x为奇数，y为偶数F(x,y)=F(x,y/2)=F(x,y>>1);
若x,y均为奇数F(x,y)=F(y,x-y),那么在F(x,y)=F(y,x-y)之后，(x-y)是一个偶数，下一步一定会有除以2的操作，因此最坏情况下的时间复杂度为O(log2(max(x,y)))。

int Gcd4(int x,int y)
{
if(x<y)
return Gcd4(y,x);
if(y==0)
return x;
else
{
if(x%2==0)
{
if(y%2==0)
return (Gcd4(x>>1,y>>1)>>1);
else
return Gcd4(x>>1,y);
}
else
{
if(y%2==0)
return Gcd4(x,y>>1);
else
return Gcd4(x-y,y);
}
}
}