最小生成树(prime算法、kruskal算法) 和 最短路径算法(floyd、dijkstra)
2014-03-29 09:08
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带权图分为有向和无向,无向图的最短路径又叫做最小生成树,有prime算法和kruskal算法;有向图的最短路径算法有dijkstra算法和floyd算法。
生成树的概念:联通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树,则该子图称为G的生成树 生成树是联通图的极小连通子图。所谓极小是指:若在树中任意增加一条边,则 将出现一个回路;若去掉一条边,将会使之编程非连通图。生成树各边的权 值总和称为生成素的权。权最小的生成树称为最小生成树,常用的算法有prime算法和kruskal算法。
最短路径问题旨在寻找图中两节点之间的最短路径,常用的算法有:floyd算法和dijkstra算法。
构造最小生成树一般使用贪心策略,有prime算法和kruskal算法
prime算法(适合稠密图)的基本思想
1.清空生成树,任取一个顶点加入生成树
2.在那些一个端点在生成树里,另一个端点不在生成树里的边中,选取一条权最小的边,将它和另一个端点加进生成树
3.重复步骤2,直到所有的顶点都进入了生成树为止,此时的生成树就是最小生成树
kruskal算法(适合稀疏图):1、基本思想:设无向连通网为G=(V, E),令G的最小生成树为T=(U, TE),其初态为U=V,TE={ },然后,按照边的权值由小到大的顺序,考察G的边集E中的各条边。若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量,则将此边作为最小生成树的边加入到T中,同时把两个连通分量连接为一个连通分量;若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量,则舍去此边,以免造成回路,如此下去,当T中的连通分量个数为1时,此连通分量便为G的一棵最小生成树。
2、示例:
假设第 i条边的起点保存在数组u[i]中,终点保存在数组v[i]中,边权保存在w[i]中,而排序后第i小的边存放在r[i]中(此方法称为间接排序——排序的关键字是对象的代号,而非对象本身)
最短路径问题旨在寻找图中两节点之间的最短路径,常用的算法有:floyd算法和dijkstra算法。
floyd算法是最简单的最短路径算法,可以计算图中任意两点间的最短路径 folyd算法的时间复杂度是O(N3),如果是一个没有边权的图,把相连的两点 间的距离设为dist[i][j] = 1,不相连的两点设为无穷大,用 floyd算法可以判断i,j两点是否有路径相连。
dijkstra算法用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法,复杂度O(N2)。
带权图分为有向和无向,无向图的最短路径又叫做最小生成树,有prime算法和kruskal算法;有向图的最短路径算法有dijkstra算法和floyd算法。
生成树的概念:联通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树,则该子图称为G的生成树 生成树是联通图的极小连通子图。所谓极小是指:若在树中任意增加一条边,则 将出现一个回路;若去掉一条边,将会使之编程非连通图。生成树各边的权 值总和称为生成素的权。权最小的生成树称为最小生成树,常用的算法有prime算法和kruskal算法。
最短路径问题旨在寻找图中两节点之间的最短路径,常用的算法有:floyd算法和dijkstra算法。
构造最小生成树一般使用贪心策略,有prime算法和kruskal算法
prime算法(适合稠密图)的基本思想
1.清空生成树,任取一个顶点加入生成树
2.在那些一个端点在生成树里,另一个端点不在生成树里的边中,选取一条权最小的边,将它和另一个端点加进生成树
3.重复步骤2,直到所有的顶点都进入了生成树为止,此时的生成树就是最小生成树
int prime(int cur) { int index; int sum=0; memset(visit,false,sizeof(visit)); visit[cur]=true; for(int i=0;i<m;i++) dist[i]=graph[cur][i]; for(int i=1;i<m;i++) { int mincost=INF; for(int j=0;j<m;j++) { if(!visit[j] && mincost>dist[j]) { mincost=dist[j]; index=j; } } visit[index]=true; sum+=mincost; for(int j=0;j<m;j ++) { if(!visit[j] && dist[j]>graph[index][j]) dist[j]=graph[index][j]; } } return sum; }
kruskal算法(适合稀疏图):1、基本思想:设无向连通网为G=(V, E),令G的最小生成树为T=(U, TE),其初态为U=V,TE={ },然后,按照边的权值由小到大的顺序,考察G的边集E中的各条边。若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量,则将此边作为最小生成树的边加入到T中,同时把两个连通分量连接为一个连通分量;若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量,则舍去此边,以免造成回路,如此下去,当T中的连通分量个数为1时,此连通分量便为G的一棵最小生成树。
2、示例:
假设第 i条边的起点保存在数组u[i]中,终点保存在数组v[i]中,边权保存在w[i]中,而排序后第i小的边存放在r[i]中(此方法称为间接排序——排序的关键字是对象的代号,而非对象本身)
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int cmp(const int i,const int j){return w[i]<w[j];}//间接排序函数 int find(int x){return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]);}//带路径压缩的并查集查找 //即:若p[x]==x,则x是树根,返回x,否则返回x的父亲p[x]所在树的根,并把x的根设置为其父所在树的根 int Kruskal() { int ans=0; for(int i=0;i<n;i++)p[i]=i;//初始化并查集 for(int i=0;i<m;i++)r[i]=i;//初始化边表 sort(r,r+m,cmp);//给边集排序 for(int i=0;i<m;i++) { int e=r[i]; int x=find(u[e]); int y=find(v[e]);//查找两个端点所在的集合 if(x!=y){ans+=w[e];p[x]=y;}//若两个集合不是同一个集合,合并集合 } return ans; }
最短路径问题旨在寻找图中两节点之间的最短路径,常用的算法有:floyd算法和dijkstra算法。
floyd算法是最简单的最短路径算法,可以计算图中任意两点间的最短路径 folyd算法的时间复杂度是O(N3),如果是一个没有边权的图,把相连的两点 间的距离设为dist[i][j] = 1,不相连的两点设为无穷大,用 floyd算法可以判断i,j两点是否有路径相连。
void floyd() { for(int k = 0; k < n; k ++){ //作为循环中间点的k必须放在最外一层循环 for(int i = 0; i < n; i ++){ for(int j = 0; j < n; j ++){ if(dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]){ dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; //dist[i][j]得出的是i到j的最短路径 } } } } }
dijkstra算法用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法,复杂度O(N2)。
void dijkstra(int s) //s是起点 { memset(visit, false, sizeof(visit)); visit[s] = true; for(int i = 0; i < n; i ++) { dist[i] = graph[s][i]; if(i!=s && dist[i]!=INF) path[i]=s; else path[i]=-1; } int index; for(int i = 1; i < n; i ++){ int mincost = INF; for(int j = 0; j < n; j ++){ if(!visit[j] && dist[j] < mincost){ mincost = dist[j]; index = j; } } visit[index] = true; for(int j = 0; j < n; j ++){ if(!visit[j] && dist[j] > dist[index] + graph[index][j]) { dist[j] = dist[index] + graph[index][j]; path[j]=index; } } } } void show_path(int v,int s) { stack<int>st; while(v!=s) { st.push(v); v=path[v]; } st.push(v); while(!st.empty()) { cout<<st.top<<" "; st.pop(); } }
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