计算不可压缩流体--差分格式的两个问题

一 Cell - Re 问题

举例， 稳态BURGER'S 方程 u du/ dx = miu * d^2 u/ d x^2 , 中心差分离散 Re(u(i + 1) - u(i) )/ 2 - （ u(i - 1) - 2 u(i) + u(i+1) ) = 0

定义单元雷诺数， Re = U * h/ miu, % h 网格尺寸

问题描述: Re > 2, 连续单元解出现不连续跳跃。即数值解在单元节点之间出现非物理震荡。而且一般而言，震荡幅值随解的幅值增大而增大。

问题原因： 椭圆，抛物型PDE有个最值原理，即满足方程的极值解往往出现在单元域边界上，单元内的解约束于极大值与极小值之间。保证该条条件成立，要求微分算子 L满足 如下条件：

L u = a0 * u(i) - (a_-1 * u(i-1) + a_+1 * u (i+1) )

其中 a0 > 0, a_ -1 , a_+1 非负； 且 a0 不小于 （ a_-1 + a_+1）

故显然当Re > 2 （ 如下）, 该条件破坏，导致单元内解约束上下界失效，出现震荡。

-( 1 + Re/2) * u(i-1) + 2 * u(i) - ( 1- Re/2) * u(i+1) = 0

解决办法： 物理意义上讲，cell Re 问题出现，主要是不正确地使用了未来信息。 假设流动信息沿x正方向传播到单前节点 i， 显然已知上一节点 u(i-1)，但未知 下一节点 u(i+1)，中心差分等权考虑前后两个节点的物理量，就造成了问题。解决办法一，对于中心差分格式调整h，使其满足最值原理。但这样往往要求非常精细的网格； 解决办法二，采用迎风格式，常用； 解决办法三， 来自压缩流间断波处理方法，ENO (essentially non oscillatory) 等格式。 偶数阶格式实际上是引入数值耗散平滑解。

常用的迎风格式包括一阶，二阶以及QUICKG格式。

二 Aliasing 问题

原因： 前文讲过，Hilbert空间PDE求解通过截断Fourier级数的前面若干项（有限项），形成Fourier多项式，求解该多项式系数，再带回原级数，即得到原PDE的数值近似解。对于合适的数值算法，其Fourier多项式与Fourier级数曲线光滑逼近，那么高波数的Fourier系数能迅速凋亡；反之，不合适的算法，其Fourier多项式不怎么光滑，高波数系数对应的幅值较大，产生问题。另外，对于非线性问题，它会自发产生高波数大幅值，想想非线性系统演化成chaos的过程，绝对初值无关的自发性。

解决: 数值平滑。一方面类似问题一，采用数值耗散项模糊高波数影响；二采用滤波函数， 关于滤波函数，作用原理与信号处理中的一样，整个Fourier误差分析都绝对是从信号处理过来的，所以，还是翻翻书吧。