主定理与递归树计算算法时间复杂度

主定理如下定义：



例如归并排序中，a=b=2，f(n)=n，T(n)=2T(n/2)+n，那么，满足第二种情况，则T(n)=O(nlogn)。

对于递归方程T(n)=aT(n/b+f(n)的求解，可以使用递归树，用归并排序为例：



每一节点中都将当前的自由项n留在其中，而将两个递归项T(n/2) + T(n/2)分别摊给了他的两个子节点，如此循环。

图中所有节点之和为:nlogn

可以得到递归树的规则为：

　　(1) 每层的节点为T(n) = aT(n / b) + f(n)中的f(n)在当前的n/b下的值；

　　(2) 每个节点的分支数为a；

　　(3)每层的右侧标出当前层中所有节点的和。

1.当f(n)为常数时：



2.当f(n)=O(n)时：



3.当f(n)为其他情况时，利用递归树分析。

由第二种情况知，若采用分治法对原算法进行改进，则着重点是采用新的计算方法缩小a值。