POJ 1061 青蛙的约会 解题报告（模线性方程）

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

    解题报告：中文题，不说题意了 = =。
    假设跳了t次碰面，那么可以列模方程：(m*t+x = n*t+y)(mod n)。显然，方程可以写为 ((m-n)*t=(y-x))(mod n)。
    因为x不等于y，那么当m等于n时，必然是无解的。再者，就是解此模线性方程了。笔者的代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
d=a;
x=1;
y=0;
}
else
{
gcd(b,a%b,d,y,x);
y-=x*(a/b);
}
}

void linear_mod(int a,int b,int n)
{
int x,y,d;
gcd(a,n,d,x,y);
if(b%d)
{
puts("Impossible");
}
else
{
n/=d;       // 在模n/d系下的解
int ans = ((long long)x*(b/d))%n;
ans = ((long long)ans+n)%n;
printf("%d\n", ans);
}
}

int main()
{
int x,y,m,n,l;
scanf("%d%d%d%d%d",&x,&y,&m,&n,&l);

if(m-n==0)
{
puts("Impossible");
return 0;
}

linear_mod(((long long)m-n+l)%l, ((long long)y%l-x%l+l)%l, l);
}

    很多天后再来复习时写的代码，不论怎么说，理解更深入吧。如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;

// 扩展欧几里得
void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y)
{
if(b==0)
d=a, x=1, y=0;
else
exgcd(b, a%b, d, y, x), y-=x*(a/b);
}

// 解线性方程ax+by=c，返回最小的正x解
int linear_mod(int a, int b, int c)
{
int d, x, y;
exgcd(a, b, d, x, y);   // 解ax+by=d, d为a，b最大公约数

if(c%d) return -1;      // 如果d不能整除c，方程无解

a/=d, b/=d, c/=d;       // 都除以最大公约数

if(b<0) b=-b;           // 取正b，如果使用y则y也要换号，此处忽略y

return ((LL)x*c%b+b)%b; // 该方程最小正x解
}

int main()
{
int x, y, m, n, l;

while(~scanf("%d%d%d%d%d", &x, &y, &m, &n, &l))
{
int ans=0;

if(m==n)
ans=-1;
else
ans=linear_mod(m-n, l, y-x);

printf(ans==-1?"Impossible":"%d\n", ans);
}
}