[家里蹲大学数学杂志]第275期华中师范大学2011年数学专业复试试题及部分参考解答

1. ($11'$) (1) 设 $G$ 是群. 证明: 群 $G$ 不可能是两个真子群的并. (2) 试举出一个群的例子, 它可以写成三个真子群的并.

2. ($11'$) 设 $G\leq S_n$ 是一个 $n$ 次置换群. 证明: 如果群 $G$ 有奇置换, 则 $G$ 的奇置换的个数与偶置换的个数相等.

3. ($11'$) 写出 $\bbZ_{30}$ 的所有理想, 并利用中国剩余定理将还 $\bbZ_{30}$ 分解为三个非零立项的直和.

4. ($12'$) 利用留数计算实积分 $$\bex I=\int_0^\infty \frac{\ln x}{(1+x^2)^2}\rd x. \eex$$

解答: 取 $\gamma=\gamma_1\cup \gamma_2\cup\gamma_3\cup \gamma_4$, 其中 $$\beex \bea \gamma_1:&z=\ve e^{i\tt},\quad 0\leq \tt\leq \pi,\\ \gamma_2:&z=x,\quad \ve\leq x\leq R,\\ \gamma_3:&z=Re^{i\tt},\quad 0\leq \tt\leq \pi,\\ \gamma_4:&z=x,\quad -R\leq x\leq -x. \eea \eeex$$ 则由留数定理, $$\beex \bea LHS&\equiv 2\pi i\cdot \underset{z=i}{Res}\frac{\Ln z}{(1+z^2)^2}\\ &=\int_{\gamma_1}+\int_{\gamma_2}+\int_{\gamma_3} +\int_{\gamma_4}\frac{\Ln z}{(1+z^2)^2}\rd z\\ &\equiv I_1+I_2+I_3+I_4. \eea \eeex$$ 注意到 $$\beex \bea LHS&=2\pi i\cdot \sez{\frac{\Ln z}{(1+z^2)^2}}'_{z=i} =2\pi i\sex{\frac{i}{4}+\frac{\pi}{8}} =-\frac{\pi}{2}+i\frac{\pi^2}{4},\\ I_1&=\int_\pi^0\frac{\ln \ve+i\tt}{(1+\ve^2e^{2i\tt})^2}\cdot \ve e^{i\tt}\cdot i\rd \tt\to 0\quad(\ve\to 0),\\ I_2&=\int_\ve^R \frac{\ln x}{(1+x^2)^2}\rd x \to I\quad(\ve\to 0,\ R\to\infty),\\ I_3&=\int_0^\pi \frac{\ln R+i\tt}{(1+R^2e^{2i\tt})^2}\cdot Re^{i\tt}\cdot i\rd \tt\to 0\quad(R\to\infty),\\ I_4&=\int_{\gamma_4}\frac{\Ln z}{(1+z^2)^2}\rd z\\ &=\int_R^\ve \frac{\ln r+i\pi}{(1+r^2e^{2i\pi})^2}(-\rd r)\quad(z=re^{i\pi})\\ &\to I+i\pi\int_0^\infty \frac{\rd r}{(1+r^2)^2}\quad(\ve\to 0,R\to\infty). \eea \eeex$$ 我们有 $$\bex -\frac{\pi}{2}+i\frac{\pi^2}{4} =2I+i\pi\int_0^\infty\frac{\rd r}{(1+r^2)^2}. \eex$$ 比较两端的实部即有 $$\bex I=-\frac{\pi}{4}. \eex$$

5. ($10'$) 证明: 在扩充复平面上只有一个一阶极点的解析函数必有如下形式: $$\bex f(z)=\frac{az+b}{cz+d}\quad(ad-bc\neq 0). \eex$$

证明: 若 $f(z)$ 以 $\infty$ 为一阶奇点, 则 $$\bex f(z)=az+b\quad(a\neq 0). \eex$$ 若 $f(z)$ 以 $z_0\in\bbC$ 为一阶奇点, 则 $(z-z_0)f(z)$ 以 $\infty$ 在 $\bbC_\infty$ 上解析, 而以 $\infty$ 为可去奇点, 是有界的. 据 Liouville 定理, $(z-z_0)f(z)=C$, $$\bex f(z)=\frac{C}{z-z_0}\quad(C\neq 0). \eex$$

6. ($12'$) 证明: (最大模原理) 设函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析, 若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内不恒为常数, 则 $|f(z)|$ 在 $D$ 内不可能达到最大值.

证明: 这是书上的定理. 直接利用反证法, 后利用解析函数的平均值性及区域的连通性得到矛盾 ($f$ 是常数).

7. ($18'$) 设两人进行一公平博弈, 其规则为: 每局获胜者获得 1 枚筹码, 失败者失去 1 枚筹码, 游戏者无筹码则被判负.

(1) 假设甲拥有筹码 $a$ 枚, 乙拥有筹码 $b$ 枚, 试求甲获胜的概率. ($12'$)

(2) 若甲、乙筹码足够多, 试估计经过 $400$ 局后, 甲的损失小于 $39$ 枚筹码的概率. ($6'$)

8. ($15'$) (1) 正确叙述辛钦大数定律, 并予以证明. ($10'$)

(2) 简述蒙特卡洛方法计算定积分的步骤和原理. ($5'$)