阿里巴巴笔试题2(转载)
2014-03-07 15:49
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23、一个骰子,6面,1个面是 1,2个面是2, 3个面是3, 问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次!
解:(没学过《组合数学》的请略过)
设P(N=n)表示第n次(n>2)抛出后1,2,3都出现的概率,问题要求n的期望E(N=n).掷1的概率p=1/6,掷2的概率q=1/3,掷3的概率r=1/2.
写程序求解
#include <iostream>
[cpp] view
plaincopy
using namespace std;
float f(float x)
{
return (1/(1-x)/(1-x)-1-2*x);
}
int main()
{
float p=1.0/6,q=1.0/3,r=1.0/2,e;
e=r*(f(p+q)-f(p)-f(q))+p*(f(q+r)-f(q)-f(r))+q*(f(p+r)-f(p)-f(r));
cout<<e<<endl;
return 0;
}
在Visual Studio下的运行结果为:7.3
答案7.3
24、一个有趣的抛硬币问题
假设有一个硬币,抛出字(背面)和花(正面)的概率都是0.5,而且每次抛硬币与前次结果无关。现在做一个游戏,连续地抛这个硬币,直到连续出现两次字为止,问平均要抛多少次才能结束游戏?注意,一旦连续抛出两个“字”向上游戏就结束了,不用继续抛。
上面这个题目我第一次见到是在pongba的TopLanguage的一次讨论上,提出问题的人为ShuoChen,当时我给出了一个解法,自认为已经相当简单了,先来考虑一下抛硬币的过程:首先先抛一枚硬币,如果是花,那么需要重头开始;如果是字,那么再抛一枚硬币,新抛的这枚如果也是字,则游戏结束,如果是花,那么又需要重头开始。根据这个过程,设抛硬币的期望次数为T,可以得到关系:
T = 1 + 0.5T + 0.5( 1 + 0.5 * 0 + 0.5T)
解方程可得到 T = 6。
或者根据公式,需要连续抛出n个字的一般情形,结果相当简洁:Tn = 2^(n+1) -2,其中Tn为首次出现连续的n个字的期望投掷数。
参考链接 http://www.cnblogs.com/atyuwen/archive/2010/09/12/coin.html
25、问题描述:
12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?
这个笔试题,很YD,因为把某个递归关系隐藏得很深。
问题分析:
我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排。
用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案。
比如000000111111就对应着
第一排:0 1 2 3 4 5
第二排:6 7 8 9 10 11
010101010101就对应着
第一排:0 2 4 6 8 10
第二排:1 3 5 7 9 11
问题转换为,这样的满足条件的01序列有多少个。
观察1的出现,我们考虑这一个出现能不能放在第二排,显然,在这个1之前出现的那些0,1对应的人
要么是在这个1左边,要么是在这个1前面。而肯定要有一个0的,在这个1前面,统计在这个1之前的0和1的个数。
也就是要求,0的个数大于1的个数。
OK,问题已经解决.
如果把0看成入栈操作,1看成出栈操作,就是说给定6个元素,合法的入栈出栈序列有多少个。
这就是catalan数,这里只是用于栈,等价地描述还有,二叉树的枚举,多边形分成三角形的个数,圆括弧插入公式中的方法数,其通项是c(2n,n)/(n+1)。
23题解答见
http://blog.csdn.net/quanben/article/details/6918209
话少说了,原题集出处:/article/1422771.html
题目: 一个骰子,6面,1个面是 1, 2个面是2, 3个面是3,问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次。
方法: 面对面试概率题几乎屡试不爽的分叉树递归列方程法。
这是一个求数学期望的问题,最终是求1,2,3出现至少一次的最短长度的期望。
这样分叉树的每个节点是一个期望状态,而每个分叉是一次投掷结果。将后续期望出现1、2、3各至少一次的情形记作L123(即题目所求),将后续期望出现1、2各至少一次(3无关)情形记作L12,而1至少一次(2,3无关)情形L1,其余数值符号类推,则树结构如下(列出4级结构已经足够):
接下来,就是要排出方程,因为一共7个未知数,如果排出7个线性方程就能解决问题。
这方程组里的未知数对应上述的状态,而其数值则是一个对长度(投掷次数)的数学期望。
根据这个树状结构和其中的递归关系,这个方程组就是:
L123 =p1 (L23+1)
+ p2 (L13+1)+
p3 (L12 +1)
= p1 L23 +p2 L13+ p3 L12 +1
(以这个L123为例,解释,投掷1的概率是p1而由此得到的结果是需要期待后续2和3各至少出现一次,于是长度期望是L23+1,加1是因为投掷了一次,亦即即增进一级)
L23 = p1 L23 +p2 L3+ p3 L2 +1
L13 = p1 L3 +p2 L13+ p3 L1 +1
L12 = p1 L2 +p2 L1+ p3 L12 +1
L1 =p1 + p2 L1+ p3 L1 +1
(这里实际上是 L1 =p1 ·1+
p2 (L1+1)+
p3 (L1 +1) =p2 L1+ p3 L1 +1,因为对L1情形,如果投了1就目的达到终止了)
L2 =p2 + p1 L2 + p3 L2 +1
L3 =p3 + p1 L3 +p2 L3+1
(以上一开始没注意,多加了悬空的概率项,故计算有误)
其中 p1,p2 和 p3分别是掷出1,2和3的概率,即1/6,1/3,1/2。
于是求解这个方程,得到:
L1 =6, L2 =3, L3 =2
L12 =7, L13 =13/2, L23 =19/56
L123 = 219/30=
7.3 259/36 ~=7.14
故以上如果没有计算错误,该题结果是,平均掷7.3 约7.14次可出现这些面值各至少一次。
在 <<计算机程序设计艺术>>,第三版,DonaldE.Knuth著,苏运霖译,第一卷,508页,给出了证明:
问题大意是用S表示入栈,X表示出栈,那么合法的序列有多少个(S的个数为n)
显然有c(2n,n)个含S,X各n个的序列,剩下的是计算不允许的序列数(它包含正确个数的S和X,但是违背其它条件).
在任何不允许的序列中,定出使得X的个数超过S的个数的第一个X的位置.然后在导致并包括这个X的部分序列中,以
S代替所有的X并以X代表所有的S.结果是一个有(n+1)个S和(n-1)个X的序列.反过来,对一垢一种类型的每个序列,我们都能
逆转这个过程,而且找出导致它的前一种类型的不允许序列.例如XXSXSSSXXSSS必然来自SSXSXXXXXSSS.这个对应说明,不允许
的序列的个数是c(2n, n-1),因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1).[Comptes RendusAcad.Sci.105(Paris, 1887), 436~437]
验证:
其中F表示前排,B表示后排,在枚举出前排的人之后,对应的就是后排的人了,然后再验证是不是满足后面的比前面对应的人高的要求.
C/C++ code
[cpp] viewplaincopy
#include <iostream>
using namespace std;
int bit_cnt(int n)
{
int result = 0;
for (; n; n &= n-1, ++result);
return result;
}
int main()
{
int F[6], B[6];
int ans = 0;
for (int state = 0; state < (1 << 12); ++state) if (bit_cnt(state) == 6)
{
int i = 0, j = 0;
for (int k = 0; k < 12; ++k) if (state&(1<<k)) F[i++] = k; else B[j++] = k;
int ok = 1;
for (int k = 0; k < 6; ++k) if (B[k] < F[k]) {ok = 0; break;}
ans += ok;
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
结果:132
而c(12, 6)/7 = 12*11*10*9*8*7/(7*6*5*4*3*2) =132
注意:c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1)
估计出题的人也读过 <<计算机程序艺术>>吧.
PS:
另一个很YD的问题:
有编号为1到n(n可以很大,不妨在这里假定可以达到10亿)的若干个格子,从左到右排列.
在某些格子中有一个棋子,不妨设第xi格有棋子(1 <=i <=k, 1<=k <=n)
每次一个人可以把一个棋子往左移若干步,
但是不能跨越其它棋子,也要保证每个格子至多只有一个棋子.
两个人轮流移动,移动不了的为输,问先手是不是有必胜策略.
解:(没学过《组合数学》的请略过)
设P(N=n)表示第n次(n>2)抛出后1,2,3都出现的概率,问题要求n的期望E(N=n).掷1的概率p=1/6,掷2的概率q=1/3,掷3的概率r=1/2.
写程序求解
#include <iostream>
[cpp] view
plaincopy
using namespace std;
float f(float x)
{
return (1/(1-x)/(1-x)-1-2*x);
}
int main()
{
float p=1.0/6,q=1.0/3,r=1.0/2,e;
e=r*(f(p+q)-f(p)-f(q))+p*(f(q+r)-f(q)-f(r))+q*(f(p+r)-f(p)-f(r));
cout<<e<<endl;
return 0;
}
在Visual Studio下的运行结果为:7.3
答案7.3
24、一个有趣的抛硬币问题
假设有一个硬币,抛出字(背面)和花(正面)的概率都是0.5,而且每次抛硬币与前次结果无关。现在做一个游戏,连续地抛这个硬币,直到连续出现两次字为止,问平均要抛多少次才能结束游戏?注意,一旦连续抛出两个“字”向上游戏就结束了,不用继续抛。
上面这个题目我第一次见到是在pongba的TopLanguage的一次讨论上,提出问题的人为ShuoChen,当时我给出了一个解法,自认为已经相当简单了,先来考虑一下抛硬币的过程:首先先抛一枚硬币,如果是花,那么需要重头开始;如果是字,那么再抛一枚硬币,新抛的这枚如果也是字,则游戏结束,如果是花,那么又需要重头开始。根据这个过程,设抛硬币的期望次数为T,可以得到关系:
T = 1 + 0.5T + 0.5( 1 + 0.5 * 0 + 0.5T)
解方程可得到 T = 6。
或者根据公式,需要连续抛出n个字的一般情形,结果相当简洁:Tn = 2^(n+1) -2,其中Tn为首次出现连续的n个字的期望投掷数。
参考链接 http://www.cnblogs.com/atyuwen/archive/2010/09/12/coin.html
25、问题描述:
12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?
这个笔试题,很YD,因为把某个递归关系隐藏得很深。
问题分析:
我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排。
用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案。
比如000000111111就对应着
第一排:0 1 2 3 4 5
第二排:6 7 8 9 10 11
010101010101就对应着
第一排:0 2 4 6 8 10
第二排:1 3 5 7 9 11
问题转换为,这样的满足条件的01序列有多少个。
观察1的出现,我们考虑这一个出现能不能放在第二排,显然,在这个1之前出现的那些0,1对应的人
要么是在这个1左边,要么是在这个1前面。而肯定要有一个0的,在这个1前面,统计在这个1之前的0和1的个数。
也就是要求,0的个数大于1的个数。
OK,问题已经解决.
如果把0看成入栈操作,1看成出栈操作,就是说给定6个元素,合法的入栈出栈序列有多少个。
这就是catalan数,这里只是用于栈,等价地描述还有,二叉树的枚举,多边形分成三角形的个数,圆括弧插入公式中的方法数,其通项是c(2n,n)/(n+1)。
23题解答见
http://blog.csdn.net/quanben/article/details/6918209
话少说了,原题集出处:/article/1422771.html
题目: 一个骰子,6面,1个面是 1, 2个面是2, 3个面是3,问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次。
方法: 面对面试概率题几乎屡试不爽的分叉树递归列方程法。
这是一个求数学期望的问题,最终是求1,2,3出现至少一次的最短长度的期望。
这样分叉树的每个节点是一个期望状态,而每个分叉是一次投掷结果。将后续期望出现1、2、3各至少一次的情形记作L123(即题目所求),将后续期望出现1、2各至少一次(3无关)情形记作L12,而1至少一次(2,3无关)情形L1,其余数值符号类推,则树结构如下(列出4级结构已经足够):
第一级(树根) | 第二级 | 第三级 | 第四级别 |
L123 | 掷1->L23 | 掷1->L23 | 同状态 |
掷2->L3 | 根据投掷结果,或继续期待L3,或已经达到目标 | ||
掷3->L2 | 根据投掷结果,或继续期待L2,或已经达到目标 | ||
掷2->L13 | 掷1->L3 | 根据投掷结果,或继续期待L3,或已经达到目标 | |
掷2->L13 | 同状态 | ||
掷3->L1 | 根据投掷结果,或继续期待L1,或已经达到目标 | ||
掷3->L12 | 掷1->L2 | 根据投掷结果,或继续期待L2,或已经达到目标 | |
掷2->L1 | 根据投掷结果,或继续期待L1,或已经达到目标 | ||
掷3->L12 | 同状态 |
这方程组里的未知数对应上述的状态,而其数值则是一个对长度(投掷次数)的数学期望。
根据这个树状结构和其中的递归关系,这个方程组就是:
L123 =p1 (L23+1)
+ p2 (L13+1)+
p3 (L12 +1)
= p1 L23 +p2 L13+ p3 L12 +1
(以这个L123为例,解释,投掷1的概率是p1而由此得到的结果是需要期待后续2和3各至少出现一次,于是长度期望是L23+1,加1是因为投掷了一次,亦即即增进一级)
L23 = p1 L23 +p2 L3+ p3 L2 +1
L13 = p1 L3 +p2 L13+ p3 L1 +1
L12 = p1 L2 +p2 L1+ p3 L12 +1
L1 =p1 + p2 L1+ p3 L1 +1
(这里实际上是 L1 =p1 ·1+
p2 (L1+1)+
p3 (L1 +1) =p2 L1+ p3 L1 +1,因为对L1情形,如果投了1就目的达到终止了)
L2 =p2 + p1 L2 + p3 L2 +1
L3 =p3 + p1 L3 +p2 L3+1
(以上一开始没注意,多加了悬空的概率项,故计算有误)
其中 p1,p2 和 p3分别是掷出1,2和3的概率,即1/6,1/3,1/2。
于是求解这个方程,得到:
L1 =6, L2 =3, L3 =2
L12 =7, L13 =13/2, L23 =19/56
L123 = 219/30=
7.3 259/36 ~=7.14
故以上如果没有计算错误,该题结果是,平均掷7.3 约7.14次可出现这些面值各至少一次。
在 <<计算机程序设计艺术>>,第三版,DonaldE.Knuth著,苏运霖译,第一卷,508页,给出了证明:
问题大意是用S表示入栈,X表示出栈,那么合法的序列有多少个(S的个数为n)
显然有c(2n,n)个含S,X各n个的序列,剩下的是计算不允许的序列数(它包含正确个数的S和X,但是违背其它条件).
在任何不允许的序列中,定出使得X的个数超过S的个数的第一个X的位置.然后在导致并包括这个X的部分序列中,以
S代替所有的X并以X代表所有的S.结果是一个有(n+1)个S和(n-1)个X的序列.反过来,对一垢一种类型的每个序列,我们都能
逆转这个过程,而且找出导致它的前一种类型的不允许序列.例如XXSXSSSXXSSS必然来自SSXSXXXXXSSS.这个对应说明,不允许
的序列的个数是c(2n, n-1),因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1).[Comptes RendusAcad.Sci.105(Paris, 1887), 436~437]
验证:
其中F表示前排,B表示后排,在枚举出前排的人之后,对应的就是后排的人了,然后再验证是不是满足后面的比前面对应的人高的要求.
C/C++ code
[cpp] viewplaincopy
#include <iostream>
using namespace std;
int bit_cnt(int n)
{
int result = 0;
for (; n; n &= n-1, ++result);
return result;
}
int main()
{
int F[6], B[6];
int ans = 0;
for (int state = 0; state < (1 << 12); ++state) if (bit_cnt(state) == 6)
{
int i = 0, j = 0;
for (int k = 0; k < 12; ++k) if (state&(1<<k)) F[i++] = k; else B[j++] = k;
int ok = 1;
for (int k = 0; k < 6; ++k) if (B[k] < F[k]) {ok = 0; break;}
ans += ok;
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
结果:132
而c(12, 6)/7 = 12*11*10*9*8*7/(7*6*5*4*3*2) =132
注意:c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1)
估计出题的人也读过 <<计算机程序艺术>>吧.
PS:
另一个很YD的问题:
有编号为1到n(n可以很大,不妨在这里假定可以达到10亿)的若干个格子,从左到右排列.
在某些格子中有一个棋子,不妨设第xi格有棋子(1 <=i <=k, 1<=k <=n)
每次一个人可以把一个棋子往左移若干步,
但是不能跨越其它棋子,也要保证每个格子至多只有一个棋子.
两个人轮流移动,移动不了的为输,问先手是不是有必胜策略.
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