大整数相乘算法

一 转换为二进制求，推导出的公式适合十进制计算
设X和Y都是n位的二进制整数，现在要计算它们的乘积XY。我们可以用小学所学的方法来设计一个计算乘积XY的算法，但是这样做计算步骤太多，显得效率较低。如果将每2个1位数的乘法或加法看作一步运算，那么这种方法要作O(n2)步运算才能求出乘积XY。下面我们用分治法来设计一个更有效的大整数乘积算法。

　



图6-3 大整数X和Y的分段　

我们将n位的二进制整数X和Y各分为2段，每段的长为n/2位(为简单起见，假设n是2的幂)，如图6-3所示。
由此，X=A2n/2+B ，Y=C2n/2+D。这样，X和Y的乘积为：

XY=(A2n/2+B)(C2n/2+D)=AC2n+(AD+CB)2n/2+BD             (1)

如果按式(1)计算XY，则我们必须进行4次n/2位整数的乘法(AC，AD，BC和BD)，

以及3次不超过n位的整数加法(分别对应于式(1)中的加号)，此外还要做2次移位(分别对应于式(1)中乘2n和乘2n/2)。所有这些加法和移位共用O(n)步运算。设T(n)是2个n位整数相乘所需的运算总数，则由式(1)，我们有:


                            
(2)

由此可得T(n)=O(n2)。因此，用(1)式来计算X和Y的乘积并不比小学生的方法更有效。要想改进算法的计算复杂性，必须减少乘法次数。为此我们把XY写成另一种形式:

XY=AC2n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]2n/2+BD                     (3)

虽然，式(3)看起来比式(1)复杂些，但它仅需做3次n/2位整数的乘法(AC，BD和(A-B)(D-C))，6次加、减法和2次移位。由此可得:


                                
(4)

用解递归方程的套用公式法马上可得其解为T(n)=O(nlog3)=O(n1.59)。利用式(3)，并考虑到X和Y的符号对结果的影响，我们给出大整数相乘的完整算法MULT如下:

function MULT(X，Y，n); {X和Y为2个小于2n的整数，返回结果为X和Y的乘积XY} begin   S:=SIGN(X)*SIGN(Y); {S为X和Y的符号乘积}   X:=ABS(X);   Y:=ABS(Y); {X和Y分别取绝对值}   if n=1 then      if (X=1)and(Y=1) then return(S)                       else return(0)          else begin                 A:=X的左边n/2位;                 B:=X的右边n/2位;                 C:=Y的左边n/2位;                 D:=Y的右边n/2位;                 ml:=MULT(A,C,n/2);                 m2:=MULT(A-B,D-C,n/2);                 m3:=MULT(B,D,n/2);                 S:=S*(m1*2n+(m1+m2+m3)*2n/2+m3);                 return(S);               end; end;

上述二进制大整数乘法同样可应用于十进制大整数的乘法以提高乘法的效率减少乘法次数。下面的例子演示了算法的计算过程。
设X=314l,Y=5327，用上述算法计算XY的计算过程可列表如下，其中带'号的数值是在计算完成AC，BD，和(A-B)(D-C)之后才填入的。

X=3141        A=31       B=41        A-B=-10

Y=5327        C=53       D=27        D-C=-26

           AC=(1643)'

           BD=(1107)'

          (A-B)(D-C)=(260)'

XY=(1643)'104+[(1643)'+(260)'+(1107)']102+(1107)'

  =(16732107)'

A=31        A1=3       B1=1        A1-B1=2

C=53        C1=5       D1=3        D1-C1=-2

           A1C1=15     B1D1=3     (A1-B1)(D1-C1)=-4

AC=1500+(15+3-4)10+3=1643

B=41        A2=4       B2=1        A2-B2=3

D=27        C2=2       D2=7        D2-C2=5

           A2C2=8     B2D2=7     (A2-B2)(D2-C2)=15

BD=800+(8+7+15)10+7=1107

|A-B|=10        A3=1       B3=0        A3-B3=1

|D-C|=26        C3=2       D3=6        D3-C3=4

           A3C3=2     B3D3=0     (A3-B3)(D3-C3)=4

(A-B)(D-C)=200+(2+0+4)10+0=260

二、另外的思路：

        比较容易想到的是做多位数乘法时列竖式进行计算的方法，只要写出模拟这一过程的程序，就能实现任意大整数的乘法运算。经过查阅资料，找到一种更易于编程的方法，即“列表法”。 

下面先介绍“列表法”： 
例如当计算8765 x 234时，把乘数与被乘数照如下列出，见表1：                         


                        

把表1中的数按图示斜线分组（横纵坐标和相等的数分为一组），把每组数的累加起来所得的和记在表格下方，见表 2：

        从最低位的 20 开始，保留个位数字“0”，把个位以外的数“2”进到前一位；把次低位的 39 加上低位进上来的 2 得 41，保留个位数字“1”，把“4”进到前一位；以此类推，直至最高位的 16，16 加上低位进上来的4得 20，保留“0”，把2进到最高位，得乘积答数 2051010。