串的模式匹配算法：BF和KMP算法

Brute-Force算法的思想

1．BF(Brute-Force)算法  

Brute-Force算法的基本思想是：

1) 从目标串s 的第一个字符起和模式串t的第一个字符进行比较，若相等，则继续逐个比较后续字符，否则从串s 的第二个字符起再重新和串t进行比较。

2) 依此类推，直至串t 中的每个字符依次和串s的一个连续的字符序列相等，则称模式匹配成功，此时串t的第一个字符在串s 中的位置就是t 在s中的位置，否则模式匹配不成功。

Brute-Force算法的实现   



c语言实现：



// Test.cpp : Defines the entry point for the console application.    

//    

#include "stdafx.h"    

#include <stdio.h>    

#include "stdlib.h"  

#include <iostream>  

using namespace std;  

  

//宏定义      

#define TRUE   1      

#define FALSE   0      

#define OK    1      

#define ERROR   0    

  

#define  MAXSTRLEN 100  

  

typedef char    SString[MAXSTRLEN + 1];  

/************************************************************************/  

/*  

 返回子串T在主串S中第pos位置之后的位置，若不存在，返回0 

*/  

/************************************************************************/  

int BFindex(SString S, SString T, int pos)  

{  

    if (pos <1 ||  pos > S[0] ) exit(ERROR);  

    int i = pos, j =1;  

    while (i<= S[0] && j <= T[0])  

    {  

        if (S[i] == T[j])  

        {  

            ++i; ++j;  

        } else {  

            i = i- j+ 2;  

            j = 1;  

        }  

    }  

    if(j > T[0]) return i - T[0];  

    return ERROR;  

}  

  

  

  

void main(){  

    SString S = {13,'a','b','a','b','c','a','b','c','a','c','b','a','b'};  

    SString T = {5,'a','b','c','a','c'};  

    int pos;  

    pos = BFindex( S,  T, 1);  

    cout<<"Pos:"<<pos;  

}  

2．KMP算法

2.1 算法思想：

每当一趟匹配过程中出现字符比较不等时，不需要回溯I指针，而是利用已经的带的“部分匹配”的结果将模式向右滑动尽可能远的一段距离后，继续进行比较。

即尽量利用已经部分匹配的结果信息，尽量让i不要回溯，加快模式串的滑动速度。



需要讨论两个问题：

①如何由当前部分匹配结果确定模式向右滑动的新比较起点k？

② 模式应该向右滑多远才是高效率的?

现在讨论一般情况:

假设 主串：s: ‘s(1)  s(2) s(3) ……s(n)’ ;  模式串 ：p: ‘p(1)  p(2) p(3)…..p(m)’

现在我们假设 主串第i个字符与模式串的第j(j<=m)个字符‘失配’后，主串第i个字符与模式串的第k(k<j)个字符继续比较。

此时，s(i)≠p(j)：



由此，我们得到关系式：即得到到1 到  j -1 的"部分匹配"结果:

 ‘P(1)  P(2) P(3)…..P(j-1)’   =    ’ S(i-j+1)……S(i-1)’

 从而推导出k 到 j- 1位的“部分匹配”：即P的[b]j-1～j-k＝S前i-1～i-
(k -1))位 [/b]            

  [b]‘P(j - k + 1) …..P(j-1)’  = [b] ’S(i-k+1)S(i-k+2)……S(i-1)’[/b]
[/b]

由于s(i)≠p(j)，接下来s(i)将与p(k)继续比较，则模式串中的前(k-1)个字符的子串必须满足下列关系式，并且不可能存在  k’>k  满足下列关系式：(k<j)



有关系式： 即(P的前k- 1 ~ 1位＝ S前i-1～i-(k-1) )位 ) ,：

‘P(1) P(2)  P(3)…..P(k-1)’ = ’S(i-k+1)S(i-k+2)……S(i-1)’

现在我们把前面总结的关系综合一下,有：



由上，我们得到关系：

‘p(1)  p(2)  p(3)…..p(k-1)’  =   ‘p(j - k + 1) …..p(j-1)’ 

      反之，若模式串中满足该等式的两个子串，则当匹配过程中，主串中的第i 个字符与模式中的第j个字符等时，仅需要将模式向右滑动至模式中的第k个字符和主串中的第i个字符对齐。此时，模式中头k-1个字符的子串‘p(1) 
p(2)  p(3)…..p(k-1)’  必定与主串中的第i 个字符之前长度为k-1 的子串 
’s(j-k+1)s(j-k+2)……s(j-1)’相等，由此，匹配仅需要从模式中的第 k 个字符与主串中的第 i 个字符比较起 继续进行。      若令 next[j] = k ,则next[j] 表明当模式中第j个字符与主串中相应字符“失配”时，在模式中需要重新和主串中该字符进行的比较的位置。由此可引出模式串的next函数：

根据模式串P的规律：  ‘p(1)  p(2)  p(3)…..p(k-1)’  =   ‘p(j - k + 1) …..p(j-1)’ 

由当前失配位置j(已知) ，可以归纳计算新起点k的表达式。



由此定义可推出下列模式串next函数值：



模式匹配过程:



KMP算法的实现:


第一步，先把模式T所有可能的失配点j所对应的next[j]计算出来；

第二步：执行定位函数Index_kmp（与BF算法模块非常相似）

int KMPindex(SString S, SString T, int pos)  

{  

    if (pos <1 ||  pos > S[0] ) exit(ERROR);  

    int i = pos, j =1;  

    while (i<= S[0] && j <= T[0])  

    {  

        if (S[i] == T[j]) {  

            ++i; ++j;  

        } else {  

            j = next[j+1];  

        }  

    }  

    if(j > T[0]) return i - T[0];  

    return ERROR;  

}  

完整实现代码：

// Test.cpp : Defines the entry point for the console application.    

//    

#include "stdafx.h"    

#include <stdio.h>    

#include "stdlib.h"  

#include <iostream>  

using namespace std;  

  

//宏定义      

#define TRUE   1      

#define FALSE   0      

#define OK    1      

#define ERROR   0    

  

#define  MAXSTRLEN 100  

  

typedef char    SString[MAXSTRLEN + 1];  

  

void GetNext(SString T, int next[]);  

int KMPindex(SString S, SString T, int pos);  

/************************************************************************/  

/*  

 返回子串T在主串S中第pos位置之后的位置，若不存在，返回0 

*/  

/************************************************************************/  

int KMPindex(SString S, SString T, int pos)  

{  

    if (pos <1 ||  pos > S[0] ) exit(ERROR);  

    int i = pos, j =1;  

    int next[MAXSTRLEN];  

    GetNext( T, next);  

    while (i<= S[0] && j <= T[0])  

    {  

        if (S[i] == T[j]) {  

            ++i; ++j;  

        } else {  

            j = next[j];  

        }  

    }  

    if(j > T[0]) return i - T[0];  

    return ERROR;  

}  

  

/************************************************************************/  

/*      求子串next[i]值的算法 

*/  

/************************************************************************/  

void GetNext(SString T, int next[])  

{   int j = 1, k = 0;  

    next[1] = 0;  

    while(j < T[0]){  

        if(k == 0 || T[j]==T[k]) {     

            ++j;  ++k;   next[j] = k;    

        } else {  

            k = next[k];   

        }  

    }  

}  

  

void main(){  

    SString S = {13,'a','b','a','b','c','a','b','c','a','c','b','a','b'};  

    SString T = {5,'a','b','c','a','c'};  

    int pos;  

    pos = KMPindex( S,  T, 1);  

    cout<<"Pos:"<<pos;  

}  

2.2  求串的模式值next


k值仅取决于模式串本身而与相匹配的主串无关。

我们使用递推到方式求next函数：

1）由定义可知：

     next[1] = 0;

2)  设 next[j] = k ,这个表面在模式串中存在下列关系：

    ‘P(1)  ….. P(k-1)’  =   ‘P(j
- k + 1) ….. P(j-1)’ 

    其中k为满足1< k <j的某个值，并且不可能存在k` > 满足:

    ‘P(1)  ….. P(k`-1)’  =   ‘P(j - k` + 1) ….. P(j-1)’ 

    此时next[j+1] = ?可能有两种情况：

   （1） 若Pk = Pj，则表明在模式串中：

  ‘P(1)
….. P(k)’  =   ‘P(j - k + 1) ….. P(j)’ 
          并且不可能存在k` > 满足：  ‘P(1) ….. P(k`)’  =   ‘P(j
- k` + 1) ….. P(j)’ 

          即next[j+1] = k + 1 推到=》：

         next[j+1] = next[j] + 1;

      (2)  若Pk

Pj 则表明在模式串中：

          ‘P(1)
….. P(k)’  

   ‘P(j - k + 1) ….. P(j)’ 
     此时可把next函数值的问题看成是一个模式匹配的问题，整个模式串即是主串又是模式串，

     而当前匹配的过程中，已有：

      Pj-k+1 = P1， Pj-k+2 = P2，... Pj-1 = Pk-1.

     则当Pk

Pj时应将模式向右滑动至以模式中的第next[k]个字符和主串中的第 j 个字符相比较。

     若next[k] = k`,且Pj= Pk`, 则说明在主串中的第j+1 个字符之前存在一个长度为k` (即next[k])的最长子串，和模式串

     从首字符其长度为看k`的子串箱等。即

       ‘P(1) ….. P(k`)’  =  ‘P(j - k` + 1) ….. P(j)’ 

     也就是说next[j+1] = k` +1 即

     next[j+1] = next[k] + 1

     同理，若Pj 

Pk` ,则将模式继续向右滑动直至将模式串中的第next[k`]个字符和Pj对齐，

     ... ,一次类推，直至Pj和模式中某个字符匹配成功或者不存在k`(1< k` < j)满足，则:

     next[j+1] =1;

    


/************************************************************************/  

/*      求子串next[i]值的算法 

*/  

/************************************************************************/  

void GetNext(SString T, int next[])  

{   int j = 1, k = 0;  

    next[1] = 0;  

    while(j < T[0]){  

        if(k == 0 || T[j]==T[k]) {     

            ++j;  ++k;   next[j] = k;    

        } else {  

            k = next[k];   

        }  

    }  

}  

next 函数值究竟是什么含义，前面说过一些，这里总结。

设在字符串S中查找模式串T，若S[m]!=T
,那么，取T
的模式函数值next
,

1.       next
= 0 表示S[m]和T[1]间接比较过了，不相等，下一次比较 S[m+1] 和T[1]

2.       next
=1 表示比较过程中产生了不相等，下一次比较 S[m] 和T[1]。

3.       next
= k >1 但k<n, 表示,S[m]的前k个字符与T中的开始k个字符已经间接比较相等了，下一次比较S[m]和T[k]相等吗？

4.       其他值，不可能。

注意：

（1）k值仅取决于模式串本身而与相匹配的主串无关。

（2）k值为模式串从头向后及从j向前的两部分的最大相同子串的长度。

（3）这里的两部分子串可以有部分重叠的字符，但不可以全部重叠。

next[j]函数表征着模式P中最大相同前缀子串和后缀子串（真子串）的长度。

可见，模式中相似部分越多，则next[j]函数越大，它既表示模式T字符之间的相关度越高，也表示j位置以前与主串部分匹配的字符数越多。

即：next[j]越大，模式串向右滑动得越远，与主串进行比较的次数越少，时间复杂度就越低（时间效率）。